Главная > Математика > Линейная алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Метрический тензор. Основные операции векторной алгебры в тензорных обозначениях

1. Понятие метрического тензора в евклидовом пространстве.

В § 2 гл. 7 говорилось о том, что скалярное произведение в конечномерном линейном пространстве может быть задано с помощью

билинейной формы, полярной некоторой положительно определенной квадратичной форме. В этом параграфе мы будем считать, что в рассматриваемом конечномерном евклидовом пространстве скалярное произведение задано такого типа билинейной формой

В п. 2 предыдущего параграфа (пример 3) мы убедились, что коэффициенты матрицы билинейной формы могут рассматриваться как координаты тензора Эти коэффициенты для билинеиной формы с помощью которой задается скалярное умножение в мы обозначим через Таким образом, — координаты некоторого тензора в базисе Этот тензор типа называется метрическим тензором пространства Напомним, что координаты тензора определяются соотношениями

(см. формулу

Заметим также, что так как форма симметрична то, согласно (8.42), т. е. метрический тензор симметричен по нижним индексам и

Пусть х и у — произвольные векторы в — координаты этих векторов в базисе

Скалярное произведение векторов х и у равно Обращаясь к выражению (8.24) для билинейной формы в данном базисе и используя равенство получим следующую формулу для скалярного произведения векторов х и у:

В частности, скалярные произведения базисных векторов равны

(это следует из равенства и из формулы (8.42); впрочем, формулу (8.44) легко получить и непосредственно из

Рассмотрим теперь наряду с базисом взаимный базис . Пусть — разложения векторов х и у по векторам взаимного базиса Тогда для скалярного произведения получим следующую формулу:

Обозначая

получим следующее выражение для

Как и в п. 2 предыдущего параграфа (см. пример 3), легко убедиться, что представляют собой координаты тензора типа симметричного по индексам и Этот тензор типа также называется метрическим тензором пространства

Мы будем обозначать его тем же символом что и введенный выше метрический тензор типа : в следующем пункте мы выясним, что координаты можно рассматривать как ковариантные и контравариантные координаты одного и того же тензора В дальнейшем эти координаты мы так и будем называть ковариантными и контравариантными координатами тензора

В конце § 1 этой главы, исследуя вопрос о построении взаимных базисов, мы ввели величины по формулам (8.10). Сравнивая эти формулы с формулами (8.42) и (8.45), мы приходим к выводу, что эти величины представляют собой ковариантные и контравариантные координаты метрического тензора

В этом же п. 2 § 1 мы доказали, что матрицы, элементами которых являются координаты взаимно обратные, Это означает, что справедливо соотношение

Таким образом, координаты тензора могут быть построены по координатам и наоборот (для этого надо обратиться к известному способу построения элементов обратной матрицы).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление