Главная > Математика > Линейная алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Гомоморфизмы. Фактор-группы.

Пусть — группа с элементами — некоторое множество, в котором определен закон композиции его элементов Мы будем использовать мультипликативную форму записи композиции: а элемент с будем называть произведением элементов а и

Определение 1. Отображение группы на множество

называется гомоморфизмом, если для любых элементов выполняется соотношение

где — образы элементов при отображении

При этом называется гомоморфным образом

В случае, если является подмножеством то для гомоморфизма (9.5) употребляется наименование эндоморфизм.

Замечание. Если задано гомоморфное отображение (гомоморфизм) группы на множество то все элементы группы разбиваются на непересекающиеся классы: в один класс объединяются все те элементы которые отображаются в один и тот же элемент множества

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 9.4. Гомоморфный образ группы является группой.

Доказательство. Пусть — элементы гомоморфного образа группы при гомоморфизме Это означает, что в группе можно указать такие элементы что

Тогда в множестве умножение элементов согласовано с правилом (9.6).

Проверим, что эта операция умножения удовлетворяет требованиям 1°, 2° и 3° определения 2 группы (см. этого параграфа).

Г. Ассоциативность умножения. Составим два произведения а с. Имеем, согласно правилу (9.6),

Сопоставляя эти Соотношения, получим а. с. Следовательно, ассоциативность умножения элементов выполняется.

2°. Существование единицы. Обозначим символом элемент где — единица группы

Для любого элемента а множества имеем, согласно правилу (9.6),

Следовательно, элемент действительно играет роль единицы.

3°. Существование обратного элемента. Обозначим символом элемент где — обратный элемент для элемента а в группе

Имеем, согласно (9.6),

Следовательно, элемент играет роль обратного элемента для элемента

Итак, для операции умножения элементов выполнены требования определения 2 группы. Поэтому — группа. Теорема доказана.

Пусть Н — нормальный делитель группы Определим следующее отображение группы на множество смежных классов по нормальному делителю Н: если а принадлежит то этому элементу поставим в соответствие тот класс смежности, которому принадлежит указанный элемент. Согласно свойству 3° смежных классов (см. предыдущий пункт) каждому элементу группы при таком отображении отвечает только один класс, т. е. налицо действительно отображение группы на множество классов смежности по нормальному делителю Я.

Докажем следующую теорему.

Теорема 9.5. Указанное выше отображение группы на смежные классы по нормальному делителю , при определении умножения классов смежности как подмножеств группы представляет собой гомоморфизм.

Доказательство. В конце предыдущего пункта мы доказали утверждение о том, что если и — смежные классы, то произведение этих классов как подмножеств есть смежный класс . Следовательно, с помощью рассматриваемого отображения произведению элементов ставится в соответствие смежный класс , равный произведению смежных классов и Поэтому — гомоморфизм. Теорема доказана.

Следствие. Множество смежных классов группы по нормальному делителю Н с операцией умножения этих классов как подмножеств образует группу.

Эта группа называется фактор-группой группы по нормальному делителю Н и обозначается символом

Справедливость следствия вытекает из теоремы 9.4.

Замечание. Очевидно, отображение группы на множество смежных классов по нормальному делителю представляет собой гомоморфизм этой группы на фактор-группу

Рассмотрим следующий пример.

Пусть -мерное линейное координатное пространство, которое, как отмечалось в примере этого параграфа, является абелевой (т. е. коммутативной) группой относительно сложения элементов (напомним, что точками х этого пространства являются упорядоченные совокупности из вещественных чисел причем сложение элементов производится по правилу

По определению прямого произведения, представляет собой прямое произведение одномерных пространств:

Так как, например, представляет собой абелеву подгруппу, то, очевидно, — нормальный делитель группы Смежным классом элемента а из служит прямая, проходящая через точку а параллельно прямой , а фактор-группа изоморфна -мерному подпространству

Отметим, что обозначение фактор-группы определенным образом объясняется с помощью соотношения

которое следует из (9.7). Отметим, что в формуле (9.8) последний знак равенства нужно рассматривать как изоморфизм между соответствующими группами.

Мы доказали, что по нормальному делителю Я определяется гомоморфизм группы на фактор-группу Справедливо обратное утверждение: если задан гомоморфизм группы на множество то по этому гомоморфизму определяется такой нормальный делитель Я, что группа и фактор-группа изоморфны.

Докажем две теоремы, относящиеся к этому утверждению.

Теорема 9.6. Пусть -гомоморфизм группы на и пусть Н—множество тех элементов группы которое при гомоморфизме отображаются в элемент где — единица группы Тогда — нормальный делитель группы G.

Доказательство. Достаточно доказать, что — подгруппа группы и каждый левый смежный класс по этой подгруппе является одновременно и правым смежным классом.

Убедимся, во-первых, что — подгруппа группы Для этого следует доказать, что если , то , а также что если а , то и .

Пусть . Так как — гомоморфизм, то играет роль единицы в группе (см. теорему 9.4). Поэтому Следовательно,

Далее пусть а Тогда, если — обратный элемент для а, то . Так как — гомоморфизм, то Поэтому , следовательно, .

Докажем теперь, что каждый левый смежный класс является одновременно и правым смежным классом.

Пусть а — произвольный элемент группы Докажем, что множество А элементов группы отображающихся при гомоморфизме в элемент , есть одновременно левый и правый смежные классы и На. Этим и будет завершено доказательство теоремы.

Пусть а Рассмотрим уравнение

Так как — гомоморфизм и , то из этого уравнения получаем Поэтому . Но тогда, согласно (9.9),

Обращаясь далее к уравнению и проводя аналогичные рассуждения, мы убедимся, что . Но тогда . Таким образом, . Теорема доказана.

Теорема 9.7 (теорема о гомоморфизмах групп). Пусть — гомоморфизм группы на и Н — тот нормальный делитель группы элементам которого соответствуют при гомоморфизме единица группы Тогда группа и фактор-группа изоморфны.

Доказательство. Установим взаимно однозначное соответствие между элементами группы и смежными классами по нормальному делителю элементу а группы поставим в соответствие тот смежный класс, который с помощью отображается в а. Очевидно, это соответствие взаимно однозначно, ибо, согласно свойству 3° смежных классов (см. п. 4 этого параграфа), эти классы не пересекаются. Если определить умножение этих классов как подмножеств группы и воспользоваться утверждением, доказанным в конце предыдущего пункта, то легко видеть, что установленное только что взаимно однозначное соответствие есть изоморфизм. Но классы смежности и есть элементы факторгруппы. Теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление