Главная > Математика > Линейная алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Группа ортогональных преобразований.

В группе выделяется специальная подгруппа так называемых ортогональных преобразований. Эти преобразования, рассматриваемые как отдельное множество, образуют группу, называемую ортогональной группой.

Введем понятие ортогональных преобразований.

Напомним, что мы рассматриваем невырожденные линейные преобразования. Понятие такого преобразования равнозначно понятию невырожденного оператора, т. е. оператора А, для которого

Напомним теперь введенное в § 9 гл. 5 понятие ортогонального оператора, действующего в вещественном евклидовом пространстве V.

Именно, линейный оператор Р мы назвали ортогональным, если для любых х и у из V справедливо соотношение

Результат действия ортогонального оператора Р будем называть ортогональным преобразованием Р.

В теореме 5.36 было доказано, что оператор Р является ортогональным тогда и только тогда, когда существует обратный оператор и выполняется равенство

В этом равенстве Р — оператор, сопряженный к Р.

Таким образом, если преобразование Р является ортогональным, то у этого преобразования есть обратное . Отсюда следует, что каждое ортогональное преобразование является невырожденным. Действительно, поскольку , где — тождественное преобразование, то

т. е. . Следовательно, ортогональное преобразование Р невырожденное.

Отметим следующее важное свойство ортогональных преобразований.

Теорема 9.9. Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства V с обычной операцией умножения линейных преобразований, образует группу (называемую ортогональной группой и обозначаемую символом

Доказательство. Достаточно доказать, что произведение ортогональных преобразований представляет собой ортогональное преобразование. Существование обратного преобразования (обратного элемента) для данного ортогонального преобразования доказано в теореме 5.36 (см. также только что сделанное замечание).

Итак, пусть - ортогональные преобразования. Рассмотрим произведение Согласно теореме 5.36 нам достаточно доказать соотношение

В п. 1 § 5 гл. 5 (см. свойство 5° сопряженных операторов) мы установили, что Используя это соотношение и ортогональность преобразований получим

Таким образом, соотношение (9.15) доказано. Теорема доказана.

Замечание 1. Очевидно, ортогональная группа является подгруппой группы

Замечание 2. Значение определителя ортогонального преобразования Р удовлетворяет соотношению

Таким образом,

Для доказательства (9.16) заметим, что для матрицы Р преобразования Р справедливо соотношение

где Р — транспонированная матрица, полученная из Р перестановкой строк и столбцов, а — единичная матрица.

Так как (при перестановке строк и столбцов определитель не меняется) и в 1, то из соотношения (9.18) следует, что Поскольку, по определению, вводится как определитель матрицы Р в любом базисе, то соотношения (9.16) и (9.17) доказаны.

Соотношение (9.17) для определителя ортогонального преобразования служит основой для разделения всех таких преобразований на два класса.

В первый класс мы отнесем все ортогональные преобразования, для которых . Эти преобразования в дальнейшем будем называть собственными.

Во второй класс отнесем все ортогональные преобразования, для которых Такие преобразования будем называть несобственными.

Множество всех собственных ортогональных преобразований образует группу, называемую собственной ортогональной группой. Эта группа обозначается символом

Можно доказать, что каждая группа компактна.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление