5. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы.

В этом пункте мы не будем стремиться к полноте изложения. На отдельных примерах мы постараемся выяснить характеристики некоторых подгрупп ортогональной группы.

Отметим, что конечные и дискретные подгруппы группы О (3) имеют важное значение в кристаллографии.

1°. Рассмотрим двумерную ортогональную группу этой группе можно выделить дискретную подгруппу поворотов на угол

Обозначим буквой а элемент этой подгруппы, отвечающий значению . Тогда, очевидно, элемент отвечающий повороту на угол при равен . Это соотношение можно сокращенно записать в следующей форме:

Если обозначить символом элемент, обратный элементу а — элемент, отвечающий повороту на угол и единицу рассматриваемой подгруппы обозначить , то, очевидно, любой элемент при отрицательном, положительном и нулевом значении можно записать в виде

Группы, элементы которых могут быть представлены в виде (9.19), называются циклическими.

Очевидно, циклические группы являются дискретными.

Отметим два типа циклических подгрупп поворотов:

1) Если , где и — целые числа (т. е. угол несоизмерим ), то все элементы различны.

2) Если где и — взаимно простые числа, то справедливо соотношение то есть

Группы, для которых выполняется последнее соотношение, называются циклическими группами порядка

2°. Обратимся теперь к так называемым подгруппам зеркальной симметрии.

Каждая подгруппа зеркальной симметрии состоит из двух элементов: единица (тождественное преобразование) и отражение либо относительно какой-либо плоскости, либо относительно начала координат.

Убедиться в том, что тождественное преобразование и отражение образуют группу, весьма просто — достаточно заметить, что два последовательных отражения дают тождественное преобразование (см. пример 7 п. 2 § 1 этой главы).

Рассмотрим, например, подгруппу группы , состоящую из единицы I и отражения Р трехмерного пространства относительно начала координат. В ортонормированном базисе матрица Р этого преобразования имеет вид

Так как определитель то подгруппа является несобственной. В примере 7 п. 2 § 1 этой главы отмечалось, что подгруппа изоморфна группе вычетов по модулю 2.

Докажем следующее утверждение:

Рассматриваемая подгруппа представляет собой нормольный делитель группы .

Нам требуется доказать, что для любого элемента а из О (3) справедливы соотношения

(эти соотношения показывают, что левый и правый смежные классы подгруппы совпадают, что является признаком нормального делителя).

Первое из соотношений (9.20) очевидно.

Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующими очевидными свойствами отражения

Умножая соотношение слева на Р и пользуясь равенством получим второе соотношение (9.20).

Докажем теперь следующее утверждение

Подгруппа собственных ортогональных преобразований группы изоморфна факторгруппе группы по нормальному делителю

Доказательство. Смежный класс элемента а по подгруппе имеет вид причем — несобственное преобразование (произведение собственного преобразования а и несобственного преобразования Р дает несобственное преобразование).

Если а — несобственное преобразование, то смежный класс приводится к виду , где — собственное преобразование и а

Таким образом, фактор-группа состоит из смежных классов вида , где а — собственное преобразование. Очевидно, соответствие есть изоморфизм между группами Утверждение доказано.