5. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы.
В этом пункте мы не будем стремиться к полноте изложения. На отдельных примерах мы постараемся выяснить характеристики некоторых подгрупп ортогональной группы.
Отметим, что конечные и дискретные подгруппы группы О (3) имеют важное значение в кристаллографии.
1°. Рассмотрим двумерную ортогональную группу
этой группе можно выделить дискретную подгруппу поворотов на угол
Обозначим буквой а элемент этой подгруппы, отвечающий значению
. Тогда, очевидно, элемент
отвечающий повороту на угол
при
равен
. Это соотношение можно сокращенно записать в следующей форме:
Если обозначить символом
элемент, обратный элементу а
— элемент, отвечающий повороту на угол
и единицу рассматриваемой подгруппы обозначить
, то, очевидно, любой элемент
при отрицательном, положительном и нулевом значении
можно записать в виде
Группы, элементы
которых могут быть представлены в виде (9.19), называются циклическими.
Очевидно, циклические группы являются дискретными.
Отметим два типа циклических подгрупп поворотов:
1) Если
, где
и
— целые числа (т. е. угол несоизмерим
), то все элементы
различны.
2) Если
где
и
— взаимно простые числа, то справедливо соотношение
то есть
Группы, для которых выполняется последнее соотношение, называются циклическими группами порядка
2°. Обратимся теперь к так называемым подгруппам зеркальной симметрии.
Каждая подгруппа зеркальной симметрии состоит из двух элементов: единица (тождественное преобразование) и отражение либо относительно какой-либо плоскости, либо относительно начала координат.
Убедиться в том, что тождественное преобразование и отражение образуют группу, весьма просто — достаточно заметить, что два последовательных отражения дают тождественное преобразование (см. пример 7 п. 2 § 1 этой главы).
Рассмотрим, например, подгруппу
группы
, состоящую из единицы I и отражения Р трехмерного пространства относительно начала координат. В ортонормированном базисе матрица Р этого преобразования имеет вид
Так как определитель
то подгруппа
является несобственной. В примере 7 п. 2 § 1 этой главы отмечалось, что подгруппа
изоморфна группе
вычетов по модулю 2.
Докажем следующее утверждение:
Рассматриваемая подгруппа
представляет собой нормольный делитель группы
.
Нам требуется доказать, что для любого элемента а из О (3) справедливы соотношения
(эти соотношения показывают, что левый и правый смежные классы подгруппы
совпадают, что является признаком нормального делителя).
Первое из соотношений (9.20) очевидно.
Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующими очевидными свойствами отражения
Умножая соотношение
слева на Р и пользуясь равенством
получим второе соотношение (9.20).
Докажем теперь следующее утверждение