Главная > Математика > Линейная алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

Теорема 1.7. Для того, чтобы определитель порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Доказательство. 1) Необходимость. Если определитель порядка равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок заведомо меньший Но тогда хотя бы одна из строк является не базисной. По теореме 1.6 эта строка является линейной комбинацией базисных строк. В эту линейную комбинацию мы можем включить и все оставшиеся строки, поставив перед ними нули.

Итак, одна строка является линейной комбинацией остальных. Но тогда по теореме 1.5 строки определителя линейно зависимы.

2) Достаточность. Если строки линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна строка является линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из строки указанную линейную комбинацию, мы, не изменив величины получим одну строку, целиком состоящую из нулей. Но тогда определитель равен нулю (в силу следствия 3 из п. 4 § 2). Теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление