Главная > Математика > Линейная алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Сумма и пересечение подпространств.

Пусть и два произвольных подпространства одного и того же линейного пространства

Совокупность всех элементов х пространства принадлежащих одновременно образует подпространство пространства называемое пересечением подпространств

Совокупность всех элементов пространства вида где у — элемент подпространства элемент подпространства образует подпространство пространства называемое суммой подпространств

Пример. Пусть — линейное пространство всех свободных векторов (в трехмерном пространстве), — подпространство всех свободных векторов, параллельных плоскости — подпространство всех свободных векторов, параллельных плоскости Тогда суммой подпространств будет являться все пространство а пересечением подпространств будет являться множество всех свободных векторов, параллельных оси

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.9. Сумма размерностей произвольных подпространств конечномерного линейного пространства равна сумме размерности пересечения этих подпространств и размерности суммы этих подпространств.

Доказательство. Обозначим через пересечение

и , а через — сумму . Считая -мерным, выберем в нем базис

Используя утверждение, доказанное в дополним базис (2.11) до базиса в подпространстве и до базиса

в подпространстве

Достаточно доказать, что элементы

являются базисом суммы подпространств Для этого в свою очередь достаточно доказать, что элементы (2.14) линейно независимы и что любой элемент х суммы представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.14).

Сначала докажем, что элементы (2.14) линейно независимы.

Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов (2.14) представляет собой нулевой элемент, т. е. справедливо равенство

или

Так как левая часть (2.16) является элементом , а правая часть (2.16) является элементом то как левая, так и правая часть (2.16) принадлежит пересечению подпространств Отсюда следует, в частности, что правая часть (2.16) представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.11), т. е. найдутся такие числа что

В силу линейной независимости базисных элементов (2.13) равенство (2.17) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты равны нулю. Но при этом из (2.15) мы получим, что

В силу линейной независимости базисных векторов (2.12) равенство (2.18) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты равны нулю. Тем самым мы установили, что равенство (2.15) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты равны нулю, а это и доказывает линейную независимость элементов (2.14).

Остается доказать, что любой элемент х суммы представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.14), но это сразу следует из того, что этот элемент х представляет собой (по определению сумму некоторого элемента подпространства являющегося линейной комбинацией элементов (2.12), и некоторого элемента подпространства являющегося линейной комбинацией элементов (2.13). Теорема доказана.

Возвращаясь к примеру, рассмотренному перед формулировкой теоремы 2.9, заметим, что в этом примере размерность каждого из подпространств равна двум, размерность их суммы равна трем, а размерность их пересечения равна единице.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление