Макеты страниц 3. Свойства множества L(V, V) линейных операторов.Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из V в И, т. е. изучим подробнее множество Назовем тождественным (или единичным) оператором линейный оператор Введем понятие произведения линейных операторов из множества Произведением операторов А и В из
Отметим, что, вообще говоря, Справедливы следующие свойства линейных операторов из
Первое из свойств (5.4) следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см. (5.2)) и определения произведения операторов (см. (5.3)). Перейдем к обоснованию свойства 2°. Имеем, согласно (5.1), (5 2) и (5 3),
Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство Свойство 2° установлено. Совершенно аналогично доказывается свойство 3°. Свойство 4° справедливо, поскольку, согласно определению (см (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы Замечание 1. Свойство 4° позволяет определить произведение
Очевидно, справедливо соотношение Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из Определение 1. Линейный оператоа В из Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом Из определения обратного оператора Таким образом, если Мы будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам Если оператор А действует взаимно однозначно из V в V, то отображение
Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что отображаются посредством оператора А в Итак, пусть
то из определения линейного оператора (см. п. 1 этого параграфа) следует, что Так как оператор А действует из Поэтому Отметим следующее утверждение. Для того чтобы линейный оператор А из Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V. Это означает, что некоторым различным элементам Докажем достаточность этого условия. Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из V в V. Тогда каждому элементу Введем понятия ядра и образа линейного оператора. Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства V, для которых Ядро линейного оператора А обозначается символом Если Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие Определение 3. Образом линейного оператора А называется множество веек элементов у пространства V, представимых в виде Замечание 2. Отметим, что если Замечание 3. Очевидно, ядро Справедлива следующая теорема. Теорема 5.1. Пусть размерность
Доказательство. Так как Пусть а так как элементы Таким образом, в имеется Предположим, что Но Выше указывалось, что Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1. Теорема 5.2. Пусть Доказательство. Пусть Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах
Далее, если Введем понятие ранга линейного оператора А. Назовем рангом линейного оператора А число, обозначаемое символом Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта. Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы оператор А из Пусть А и В — линейные операторы из Теорема 5.3. Имеют место следующие соотношения:
Доказательство. Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением: Из этого включения следует, что Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов. Теорема 5.4. Пусть А и В—линейные операторы из
Так как
Поскольку, согласно теореме 5.1,
то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство
Действительно, из этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство
из которого, согласно (5.7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы. Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8). Пусть
Согласно теореме
Так как Поэтому элементы Следствие из теорем 5.3 и 5.4. Если
Из этих неравенств получим, что Аналогично доказывается соотношение
|
Оглавление
|