Главная > Математика > Линейная алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Положительные операторы. Корни m-й степени из оператора.

Самосопряженный оператор А называется положительным, если для любого х из V справедливо соотношение

Если оператор А — положительный и из условия следует, что то А называется положительно определенным оператором.

Положительные и положительно определенные операторы соответственно обозначаются символами

Отметим следующее простое утверждение.

Каждое собственное значение положительного (положительно определенного) оператора неотрицательно (положительно).

Это утверждение следует из простых рассуждений.

Пусть — собственное значение оператора А. Тогда, согласно лемме этого параграфа, можно указать такой элемент что

Отсюда и из соотношения (5.77) получаем, что для положительных операторов и для положительно определенных операторов. Утверждение доказано.

Введем понятие корня степени — натуральное число) из оператора.

Определение. Корнем степени из оператора А называется оператор В такой, что

Корень степени из оператора А обозначается символом .

Естественно выделить какой-либо класс операторов, для которых имела бы смысл операция нахождения корня степени. Определенный ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.

Теорема 5.24. Пусть А — положительный самосопряженный оператор, Тогда для любого натурального существует положительный самосопряженный оператор

Доказательство. Обозначим через Я — собственные значения оператора А, и пусть — ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим далее через — проектор на одномерное подпространство, порожденное вектором

Согласно предыдущему пункту имеет место спектральное разложение (5.74) самосопряженного оператора А:

Так как (см. только что доказанное утверждение), то можно ввести следующий самосопряженный оператор В;

Согласно (5.70) справедливо соотношение

из которого следует положительность операторов и положительность оператора В (см. (5.78)).

Из свойств 1 и 2° проекторов (см. п. 5 этого параграфа) вытекает, что Сравнивая это выражение для с выражением (5.74) для А, получим Выше была установлена положительность оператора В. Теорема доказана.

Замечание 1. Отметим без доказательства, что существует единственный положительный оператор .

Замечание 2. В ортонормированном базисе собственных векторов оператора А матрица оператора имеет следующий вид:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление