Главная > Математика > Линейная алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Гиперповерхности второго порядка

В этом параграфе мы познакомимся с понятием и основными типами гиперповерхностей второго порядка. Кроме того, будут указаны способы исследования таких поверхностей,

1. Понятие гиперповерхности второго порядка.

Пусть V — -мерное вещественное евклидово пространство.

Ради геометрической наглядности будем называть векторы х этого пространства точками.

Гиперповерхностью второго порядка будем называть геометрическое место точек х, удовлетворяющих уравнению вида

где — не равная тождественно нулю квадратичная форма, — линейная форма, а с — вещественное число.

Уравнение (7.62) будем называть общим уравнением гиперповерхности второго порядка.

Выделим в пространстве V какой-либо ортонормированный базис Координаты вектора х (точки х) в этом базисе обозначим через Тогда (см. п. 2. § 1 этой главы) квадратичная форма может быть представлена в виде

где

и — значение на векторах и симметричной билинейной формы полярной квадратичной форме

Линейная форма в указанном базисе представляется в виде

Таким образом, общее уравнение гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве V с выделенным базисом может быть представлено в следующей форме

Договоримся о следующей терминологии.

Слагаемое будем называть группой старших членов уравнения (7.62) или (7.66).

Группу слагаемых с будем называть линейной частью уравнения (7.62) или (7.66).

Мы будем рассматривать в дальнейшем матрицы

и определители этих матриц.

Исследование гиперповерхностей второго порядка мы будем проводить с помощью метода, сходного с методом, применяемым в аналитической геометрии при исследовании кривых и поверхностей второго порядка, заданных общими уравнениями.

Идея этого метода заключается в том, что путем выбора специальной декартовой системы координат на плоскости (для кривых второго порядка) или в пространстве (для поверхностей второго порядка) достигается максимальное упрощение уравнения кривой или поверхности. Затем путем исследования этого уравнения выясняются геометрические свойства кривой или поверхности. Кроме того, перечисление всех возможных типов простейших (канонических) уравнений кривых или поверхностей второго порядка позволяет дать их классификацию.

Чтобы использовать этот метод в многомерном случае, мы сначала должны изучить такие преобразования (отображения) -мерного евклидова пространства, которые представляют собой аналоги преобразований декартовых прямоугольных координат в случае двух и трех измерений.

Такими преобразованиями в -мерном случае будут параллельные переносы и такие преобразования базисов, при которых ортонормированный базис переходит в новый ортонормированный базис. Точные определения этих преобразований будут даны в следующем пункте.

Очевидно, гиперповерхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект пространства V, не изменяется, если производится преобразование указанного выше вида. Ниже мы убедимся, что для каждого уравнения вида (7.62) (или (7.66)) можно выбрать такое начало координат и выбрать такой ортонормированный базис в V, что это уравнение, записанное в координатах относительно нового базиса, будет максимально простого вида, и поэтому, как и в случае двух и трех измерений, можно будет указать геометрические характеристики таких поверхностей и дать им классификацию.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление