4. Свойства определителей.

Ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель порядка.

1. Свойство равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы А получается матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице и обозначаемая символом А.

В дальнейшем мы договоримся символами обозначать определители квадратных матриц соответственно.

Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т. е. .

Это свойство непосредственно вытекает из теоремы 1.2 (достаточно лишь заметить, что разложение определителя по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя первой строке).

Доказанное свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства устанавливать лишь для строк и быть уверенными в справедливости их и для столбцов.

2°. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов). При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на прот ивоположный.

Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из правила (1.10) сразу вытекает, что определители отличаются лишь знаком).

Считая, что рассмотрим теперь определитель порядка (1.11) и предположим, что в этом определителе меняются местами две строки с номерами и Записывая формулу Лапласа разложения по этим двум строкам, будем иметь

При перестановке местами строк с номерами каждый определитель второго порядка в силу доказанного выше меняет знак на противоположный, а все остальные величины, стоящие под знаком суммы в (1.35), совсем не зависят от элементов строк с номерами и сохраняют свое значение. Тем самым свойство 2° доказано.

3°. Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка является линейной комбинацией строк с коэффициентами если для всех

Линейное свойство определителя можно сформулировать так: если в определителе порядка некоторая строка является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами К и то где — определитель, у которого строка равна а все остальные строки те же, что и — определитель, у которого строка равна , а все остальные строки те что и

Для доказательства разложим каждый из трех определителей по строке и заметим, что у всех трех определителей все миноры элементов строки одинаковы. Но отсюда следует, что формула сразу вытекает из равенств

Конечно, линейное свойство справедливо и для случая, когда строка является линейной комбинацией не двух, а нескольких строк. Кроме того, линейное свойство справедливо и для столбцов определителя.

Доказанные три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу.

Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю. (В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель не изменится

а с другой стороны, в силу свойства 2° изменит знак на противоположный. Таким образом, или

Следствие 2. Умножение всех алементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число А, равносильно умножению определителя на это число X.

Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя. (Это свойство вытекает из свойства 3° при

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. (Это свойство вытекает из предыдущего при 0.)

Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. (В самом деле, в силу следствия 2 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1).

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель К, то величина определителя не изменится. (В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно в силу свойства 3° разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк (или столбцов) и следствия 4.)

Замечание. Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую мы приведем для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величина определителя не изменится.

Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей (соответствующие примеры будут приведены в следующем пункте).

Прежде чем сформулировать еще одно свойство определителя, введем полезное понятие алгебраического дополнения данного элемента определителя.

Алгебраическим дополнением данного элемента определителя порядка (1.11) назовем число, равное и обозначаемое символом

Таким образом, алгебраическое дополнение данного элемента может отличаться от минора этого элемента только знаком.

С помощью понятия алгебраического дополнения теоремы 1.1 и 1.2 можно переформулировать так: сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения этой строки (этого столбца) равна этому определителю.

Соответствующие формулы разложения определителя по строке и по столбцу можно переписать так:

Теперь мы можем сформулировать последнее свойство определителя:

4°. Свойство алгебраических дополнений соседних строк (или столбцов). Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю.

Доказательство проведем для строк (для столбцов оно проводится аналогично). Записывая подробно формулу (1.13)

заметим, что поскольку алгебраические дополнения не зависят от элементов строки то равенство (1.36) является тождеством относительно и сохраняется при замене чисел любыми другими числами. Заменив соответствующими элементами любой (отличной от строки мы получим слева в (1.36) определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно следствию 1. Таким образом,

(для любых несовпадающих