Главная > Моделирование, обработка сигналов > Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.8. Субдискретизация. Обобщение теоремы Шеннона [9]

Рассмотрим сигнал, спектральная плотность которого равна нулю вне интервала для положительных частот и вне симметричного интервала для отрицательных частот (рис. 7.10). Имеем

Согласно теореме Шеннона, частота дискретизации должна быть выбрана большей или равной Тот факт, что спектральная функция рассматриваемого сигнала равна нулю вне введенных выше интервалов, позволяет использовать частоту дискретизации значительно меньшую по сравнению с частотой определяемой теоремой Шеннона. Ниже мы рассмотрим только положительные частоты, поскольку все результаты остаются справедливыми и для отрицательных частот.

Можно допустить параллельный перенос спектра в интервалах при условии, что отсутствует даже частичное пересечение со спектром сигнала до дискретизации (рис. 7.10). Такой перенос спектра примыкающего справа к получается после переносов на расстояние Для переноса спектра примыкающего слева требуется переносов длиной (рис. 7.10). Если при переносах не происходит наложений, то спектры не изменяются. При восстановлении начального спектра достаточно умножить получаемый после переносов спектр на сумму двух прямоугольных функций, отличных от нуля соответственно на интервалах . Число называется порядком субдискретизации. Для нахождения частоты дискретизации необходимо использовать условие, что переносов не дают пересечений с Ясно, что если нет пересечений с то пересечения со спектром

Рис. 7.10.

отсутствуют везде. Пересечения отсутствуют, если выполнены неравенства (см. рис. 7.10)

Отсюда получаем

Субдискретизация возможна, если т. е.

Неравенство (7.46) можно записать в виде

Обозначим

Тогда неравенство (7.48) принимает вид

Из последнего выражения следует, что должна содержаться между двумя прямыми

Отметим, что для всех зон, в которых можно выбирать выполнено неравенство Действительно, когда все переносы являются смежными, неравенство должно быть выполнено, поскольку протяженность спектра равна (Отметим, что общая протяженность спектра равна ) Итак, зная центральную частоту и длину спектральной полосы функций и используя уравнение (7.52), можно построить все зоны, внутри которых расположены значения отношения (рис. 7.11).

Наибольший интерес представляет выбор минимально возможной частоты дискретизации. Такой выбор соответствует ординате выше значения Представляет также интерес максимально возможное увеличение порядка субдискретизации, так как это увеличение позволяет уменьшить число обрабатываемых дискретных значений сигнала.

Рис. 7.11. (см. скан)

Пример. Рассмотрим сигнал, для которого Гц и Гц. Имеем Необходимо выполнение неравенства Из выражения (7.51) получаем

Из неравенства следует Пусть тогда значение должно содержаться в интервале Хотя этот интервал и узок, но вполне реализуем.

Если то значение должно содержаться в интервале Выберем

Частота дискретизации, которую необходимо выбрать по теореме Шеннона,

равна Гц, т. е. более чем в 12 раз больше Таким образом, число точек дискретизации будет значительно уменьшено за счет применения субдискретизации.

Если выбрать Гц. Выберем Гц. Эта частота более чем в 24 раза меньше частоты Шеннона. Более того, такая частота совместима со скоростью работы аппаратуры, осуществляющей численную обработку сигналов, в то время как частота Шеннона, равная Гц, превышает верхнюю границу совместимости.

Для восстановления сигнала, как было уже сказано выше, достаточно умножить спектр дискретизованного сигнала на сумму двух прямоугольных функций Эта сумма есть фурье-образ функции Следовательно, интерполяция осуществляется с помощью выражения, модуль которого равен , а частота

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление