Главная > Моделирование, обработка сигналов > Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.3. Оценка спектральных плотностей

Измерение спектральной плотности.

Предположим, что реализован идеальный фильтр с центральной частотой ширина полосы пропускания которого равна (рис. 9.4). Входной сигнал после прохождения фильтра принимает вид . Если на временном отрезке Т оценить среднее значение квадрата модуля то получим оценку мощности сигнала в полосе частот Затем повторим эту операцию для частот . Блок-схема метода измерения представлена на рис. 9.5.

Величина смещения.

В результате измерения будет получена величина . Если время неограниченно, то ошибка оценки отсутствует, и в этом случае получаем

Рис. 9.4.

где

Функция равна только при бесконечно малом что невозможно реализовать физически. Поэтому из выражения (9.40) следует, что имеется смещение.

Рис. 9.5.

Описанный выше процесс измерения по существу является дискретизацией функции с помощью операции интегрального усреднения с шагом . Поэтому достаточно использовать полученные выше результаты временной дискретизации, перенося их в частотную область. Отметим, что смещение оценки наблюдается при измерении любой плотности: спектральной, плотности вероятности, обычной плотности вещества (точечной, а не средней плотности). Итак, мы получаем

Известно, что для

и

Поскольку спектр сигнала принадлежит отрезку

получаем

Следовательно,

Итак, появление смещения связано также с интегральной дискретизацией. В дальнейшем рассматривается величина , которую для сокращения записи будем обозначать символом .

Ошибка оценки.

Вычислим ошибку оценки :

Следовательно,

Используем выражение (9.28) с переменными . Если функция центрирована, то . Отсюда

и

Интегрируя последнее выражение, находим

Если время велико, то

Следовательно, необходимо вычислить автокорреляционную функцию фильтрованного сигнала, которая зависит от характеристик фильтра. Предположим, что рассматриваемый фильтр является идеальным и центрирован относительно частоты с шириной полосы пропускания (рис. 9.4). Тогда

где

Имеем

Отсюда

Предположим, что эта операция повторена для всех частот Тогда

Для среднеквадратичного отклонения получаем

где Т — длина промежутка интегрирования, — полоса пропускания фильтра.

Можно показать, что выражения (9.45), (9.46) справедливы и для неидеальных фильтров.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление