Главная > Математика > Математический анализ. Начальный курс
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Теорема 3.1. Сумма бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

Доказательство. Фиксируем произвольное положительное число е. Так как последовательность является бесконечно малой, то для положительного числа найдется номер такой, что при справедливо неравенство

Аналогично, так как последовательность является бесконечно малой, то для положительного числа найдется номер такой, что при справедливо неравенство

Обозначим через наибольший из двух номеров Тогда при будут справедливы оба неравенства (3.10) и (3.11).

Учитывая, что модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей, мы получим, что для всех номеров

Из соотношений (3.12), (3.10) и (3.11) вытекает, что при справедливо неравенство

Это и означает, что последовательность является бесконечно малой. Теорема доказана.

Теорема 3.2. Разность двух бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

Доказательство этой теоремы отличается от доказательства теоремы 3.1 только тем, что вместо неравенства (3.12) следует взять неравенство

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

Теорема 3.3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.

Доказательство. Пусть — ограниченная и — бесконечно малая последовательности. По определению ограниченной последовательности найдется вещественное число такое, что для всех элементов справедливо неравенство

Фиксируем произвольное положительное число Так как последовательность является бесконечно малой, то для положительного числа найдется номер такой, что при справедливо неравенство

Учитывая, что модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел, мы получим с помощью неравенств (3.13) и (3.14), что для всех

Это и означает, что последовательность является бесконечно малой. Теорема доказана.

Теорема 3.4. Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной.

Доказательство. Пусть — бесконечно малая последовательность. Фиксируем некоторое положительное число . По определению бесконечно малой последовательности найдется отвечающий этому номер такой, что для всех номеров . Обозначим через А наибольшее из следующих № чисел: . Тогда очевидно, что для всех номеров , а это и означает ограниченность последовательности Теорема доказана.

Следствие из теорем 3.3 и 3.4. Произведение двух (и любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

Теорема 3.5. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу с, то

Доказательство. Допустим, что Обозначим через положительное число По определению бесконечно малой последовательности для указанного найдется номер такой, что при всех Но неравенство (в силу того, что все равны с) превращается в заведомо абсурдное неравенство Следовательно, наше допущение не имеет места, и теорема доказана.

Теорема 3.6. Если. — бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера определено частное

двух последовательностей которое представляет собой бесконечно малую последовательность. Если все элементы бесконечно малой последовательности отличны от нуля, то частное двух последовательностей представляет собой бесконечно большую последовательность.

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Заметим, что у бесконечно большой последовательности лишь конечное число элементов может быть равно нулю. В самом деле, по определению бесконечно большой последовательности для числа найдется номер такой, что лгга для всех Значит, при все элементы не обращаются в нуль, и мы можем, начиная с номера рассматривать частное последовательностей Докажем, что это частное является бесконечно малой последовательностью. Фиксируем произвольное положительное число е. По определению бесконечно большой последовательности для положительного числа — найдется номер (этот номер мы возьмем таким, чтобы он превосходил такой, что при или, что то же самое, при Это и означает, что последовательность является бесконечно малой.

Для доказательства второй части теоремы предположим, что все элементы бесконечно малой последовательности отличны от нуля. Фиксируем произвольное положительное число А. Так как является бесконечно малой последовательностью, то для положительного числа — найдется номер такой, что при или, что то же самое, при

Это и означает, что последовательность является бесконечно большой. Теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление