Главная > Математика > Математический анализ. Начальный курс
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Тригонометрические функции.

Мы уже имеем представление о тригонометрических функциях и функциях, которые через них выражаются

Во введении к этому параграфу мы уже говорили о логических пробелах, возникающих при определении функций и

Рис. 4.5

Рис. 4.6

Рис. 4.7

с помощью наглядных геометрических соображений. Логически безупречно эти функции можно определить как решение некоторой системы функциональных уравнений. Точнее, можно доказать следующее утверждение: существует и притом единственная пара функций определенных для всех вещественных значений аргумента х и удовлетворяющих условиям:

Первую из этих функций назовем синусом и обозначим символом вторую назовем косинусом и обозначим

СИМВОЛОМ

Доказательство приведенного утверждения можно найти в дополнении к гл. 4 книги В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа», 1 (М., Наука, 1982).

Нетрудно доказать, что из свойств 1), 2) и 3) можно извлечь в виде следствий все другие свойства функций известные читателю из школьных учебников и устанавливаемые в средней школе из наглядных геометрических соображений. Впрочем, этот факт сразу вытекает из того, что свойства 1), 2) и 3) определяют единственную пару функций и что введенные в средней школе из наглядных геометрических соображений функции этими тремя свойствами обладают.

В качестве примера установим с помощью свойств 1), 2), 3) некоторые свойства функций которые понадобятся нам при доказательстве непрерывности этих функций и для отыскания участков их монотонности.

а) Из третьего соотношения 1), имеющего вид сразу же вытекает, что , т. е.

б) Далее, с помощью первых двух соотношений 1) и первых двух равенств 2) мы получим, что

Полученные два равенства представляют собой систему двух уравнений относительно двух неизвестных Решая эту систему и учитывая, что мы получим, что

т. е. cos х представляет собой четную функцию, — нечетную функцию

в) Из соотношений 1), в свою очередь, вытекают равенства

г) Из первого соотношения 1) и первого соотношения (4.9) мы получим, что

Складывая и вычитая полученные два равенства, мы придем к соотношениям

д) Далее, из первого соотношения (4.9) и из последних двух равенств 2) получим, что

е) Убедимся, наконец, в периодичности функций с периодом Из первых двух соотношений 1) при получим, что

т. е.

Учитывая, что в силу равенств 2) , мы получим из соотношений (4.12) при а из последних двух равенств и из соотношений (4.12) при получим, что

Используя последние два равенства, мы получим из первых двух соотношений 1), что

а это и означает периодичность функций с периодом

в заключение несколько усилим неравенства, содержащиеся в свойстве 3). Мы установим, что для всех вещественных справедливо следующее несколько общее неравенство:

При соотношение (4.13) следует из неравенств, содержащихся в свойстве 3).

При в силу соотношения неравенство (4.13) следует из следующих неравенств:

а эти последние йеравенства справедливы вследствие того, что лежит в интервале 0, При

При имеем

Перейдем к установлению двух основных свойств функций

1. Функции sin х и cos х непрерывны в каждой точке х бесконечной прямой.

Доказательство. Достаточно установить непрерывность в каждой точке х только функции ибо непрерывность в каждой точке х функции будет при этом вытекать из соотношения (4.11) и теоремы 4.2.

Сначала докажем, что функция непрерывна в точке Так как в силу первого равенства то в силу определения непрерывности по Гейне достаточно доказать, что для любой бесконечно малой последовательности последовательность значений функции также является бесконечно малой.

Из неравенства (4.13) и из условия вытекает, что для всех х

Следовательно,

Последние неравенства в силу принципа двустороннего ограничения (см. теорему 3.14 гл. 3) означают, что последовательность

а значит, и последовательность является бесконечно малой. Непрерывность функции в точке доказана.

Докажем теперь, что функция непрерывна в любой точке х бесконечной прямой. Пусть — произвольная последовательность, сходящаяся к х. Достаточно доказать, что соответствующая последовательность сходится к

Воспользуемся вторым соотношением (4.10), положив в нем Получим

Достаточно доказать, что в правой части (4.14) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из того, что последовательность в силу уже доказанной непрерывности синуса в нуле, является бесконечно малой, а последовательность в силу второго неравенства (4.7) является ограниченной.

2°. Функция возрастает на каждом из сегментов и убывает на каждом из сегментов функция убывает на каждом из сегментов и возрастает на каждом из сегментов (здесь всюду — любое целое число, т. е.

Доказательство. Все рассуждения достаточно провеет» для функции ибо после нахождения всех участков монотонности функции участки монотонности функции могут быть получены, исходя из равенства (4.11).

Далее, поскольку — периодическая функция с периодом то достаточно найти участки ее монотонности, лежащие в пределах одного периода, т. е., например, для значений аргумента из сегмента

Докажет сначала, что функция возрастает на сегменте Пусть — любые два числа из этого сегмента такие, Тогда, очевидно, числа принадлежат интервалу причем в силу второго равенства (4.10)

Достаточно доказать, что в правой части (4.15) стоит положительное число, а для этого достаточно убедиться в том, что для всех значений аргумента из интервала 0, функции принимают только положительные значения. Для функции это вытекает из свойства 3), а для функции следует из равенства (4.11).

Итак, доказано, что функция возрастает на сегменте Из нечетности функции т. е. из второго соотношения (4.8), в таком случае следует, что функция возрастает и на сегменте

Тем самым доказано, что функция возрастает на сегменте Остается исследовать поведение функции на сегменте В пункте мы убедились в том, что а из этих равенств и из первого соотношения 1) вытекает, что

Полученное соотношение позволяет заключить, что из установленного нами возрастания функции на сегменте вытекает убывание этой функции на сегменте

Изучение участков монотонности функций полностью завершено.

В силу представлении и в силу теоремы 4.1 для случая частного функция непрерывна в любой точке а функция непрерывна в любой точке Пользуясь соотношениями мы получим, что и аналогично Это означает, что являются периодическими функциями с периодом Значит, достаточно произвести исследование участков монотонности этих функций только в пределах интервала длины Из равенства

и из того, что принимает только положительные значения на интервале принимает только положительные значения

на интервале вытекает, что функция возрастает на интервале (Для любых из интервала таких, что в правой части (4.16) будет стоять положительная величина.)

Аналогично устанавливается, что функция убывает на интервале

Мы не останавливаемся на изучении функций

Графики всех тригонометрических функций изображены на рис. 4.8-4.13.

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Рис. 4.10

Рис. 4.11

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление