Главная > Математика > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Одним из простейших и важных приложений производной является теория максимума и минимума. Допустим, что на некотором участке задана функция о которой мы будем предполагать, что она не только непрерывна, но и имеет во всех точках производную.

Рис. 15

Умение вычислять производную дает возможность ясно представить себе ход графика функции. На участке, где производная все время положительна, касательная к графику идет вверх. Функция на таком участке возрастает, т. е. большему значению х соответствует большее значение На участке, где производная все время отрицательна, функция, наоборот, убывает; график идет вниз.

Максимум и минимум.

На рис. 15 изображен график функции определенной на отрезке Особенный интерес представляют точки этого графика, имеющие абсциссы

Говорят, что функция имеет в точке местный максимум; этим хотят выразить, что в точке функция больше, чем в соседних точках, точнее, для всех х из некоторого отрезка, окружающего точку

Аналогично определяется местный минимум.

Для нашей функции местный максимум достигается в точках а местный минимум — в точке

В каждой точке минимума или максимума, если она есть внутренняя точка отрезка т. е. не совпадающая с его концами а и производная должна равняться нулю.

Последнее, весьма важное утверждение следует из самого определения производной как предела отношения В самом деле, при небольшом сдвиге из точки максимума . Поэтому при положительных отношение неположительно, а при отрицательных отношение неотрицательно. Предел этого отношения, который по предположению существует, уже не может быть ни положительным, ни отрицательным, и ему остается быть только нулем. Наглядно это соответствует тому, что в точках максимума или минимума (обычно опускают слово «местный», хотя и подразумевают его) касательная к графику горизонтальна. На рис. 15 можно заметить, что в точках касательная тоже горизонтальна, как и в точках хотя в этих точках нет ни максимума, ни минимума. Точек, в которых производная функции равна нулю (стационарных точек), может, вообще говоря, оказаться больше, чем точек максимума или минимума.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление