Главная > Математика > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Признаки максимумов и минимумов. Исследование графиков функций.

Если кривая на протяжении всего данного отрезка изменения х обращена выпуклостью кверху и в некоторой точке этого отрезка имеет производную, равную нулю, то в этой точке она необходимо достигает максимума; в случае же выпуклости книзу — минимума. Это простое соображение позволяет часто, обнаружив точку, в которой производная равна нулю, выяснить затем, имеется ли в этой точке местный максимум или минимум 2.

Пример 1. Исследуем, как выглядит график функции

Возьмем ее первую производную и приравняем нулю

Корнями полученного уравнения будутз Соответствующие значения функции

Отметим полученные две точки на чертеже. К ним еще можно присоединить точку с координатами в которой график пересекает ось Вторая производная равна

Она обращается в нуль при причем

Точка

есть точка перегиба графика. Слева от нее кривая выпуклая кверху, справа — выпуклая книзу.

Очевидно теперь, что точка есть точка максимума, а точка — точка минимума функции.

Рис. 19.

На основании полученных данных заключаем, что график функции имеет вид, изображенный на рис. 19. Кривая от точки (0, —2) с возрастанием х возрастает, будучи обращенной выпуклостью кверху, Достигает в точке (2, 22/3) своего максимума, затем опускается вниз. В точке (27г, где выпуклость меняется на вогнутость. Далее, в точке ) Достигается минимум функции, а затем при дальнейшем возрастании х кривая возрастает до бесконечности. Последнее утверждение вытекает из того, что первый член функции, содержащий наивысшую (третью) степень х, стремится к бесконечности быстрее, чем второй и третий. На этом же основании график функции уходит к когда х, принимая отрицательные значения, возрастает по абсолютной величине.

Пример 2. Покажем,что для любого имеет место неравенство Для этого рассмотрим функцию Ее первая производная равна и обращается в нуль только при Вторая производная для всех Следовательно, график функции

выпуклый книзу. Число есть минимум нашей функции, и для всех

Исследование графиков может преследовать самые различные цели. С их помощью, например, часто выясняют число действительных корней того или иного уравнения. Так, чтобы доказать, что уравнение

имеет единственный действительный корень, можно исследовать графики функций (они изображены на рис. 20).

Легко видеть, что графики этих функций пересекаются только в одной точке, и, следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Рис. 20.

Методы анализа широко применяются к вопросам приближенного вычисления корней уравнений. По этому поводу см. главу IV, § 5.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление