Главная > Математика > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Формула Тейлора.

Функции многих переменных, так же как функции одной переменной, могут представляться по формуле Тейлора. Например, разложение функций

в окрестности точки если ограничиться первыми и вторыми степенями имеет вид

При этом, если функция имеет непрерывные частные производные 2-го порядка, то остаточный член стремится к нулю быстрее, чем

т. е. быстрее, чем квадрат расстояния между точками когда Формула Тейлора дает весьма общее средство задания и приближенного вычисления значений различных функций.

Отметим, что с помощью этой формулы можно также решать поставленный выше вопрос о том, имеет ли функция максимум или минимум в точке, где Действительно, если эти условия выполнены

в некоторой точке то для точек близких к значение функции будет, согласно формуле Тейлора, отличаться от на величину

где А, В и С соответственно обозначают вторые частные производные в точке

Если окажется, что функция

при любых, не равных одновременно нулю положительна, то в таком случае вся правая часть равенства (42) при малых будет положительной, так как при достаточно малых величина по абсолютной величине заведомо меньше Отсюда будет следовать тогда, что в точке функция достигает минимума. Наоборот, если функция при любых отрицательна, то это влечет за собой отрицательность всей правой части равенства (42) при малых и в точке имеет место максимум.

В более сложных случаях приходится рассматривать следующие члены формулы Тейлора.

Задачи о максимуме и минимуме функций трех и более переменных решаются и исследуются совершенно аналогичным путем. В виде упражнения читатель может доказать, что если в пространстве в заданных точках

расположены данные массы

то момент М этой системы относительно точки равный сумме произведений масс на квадраты их расстояний до точки Р

будет минимальным из возможных, если точку Р поместить в так называемом центре тяжести системы, имеющем координаты

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление