Главная > Математика > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Решение уравнений 3-й и 4-й степени пересечением окружности с параболой у = x^2.

Составим уравнение окружности с центром и радиусом Если — некоторая точка, то квадрат ее расстояния до точки равен (см. § 3). Уравнение рассматриваемой окружности, следовательно, есть

Попробуем теперь найти точки пересечения этой окружности с параболой Для этого, в силу сказанного в § 3, надо совместно решить уравнение этой окружности и уравнение параболы:

Подставляя у из второго уравнения в первое, мы получим относительно х уравнение 4-й степени

или уравнение

Если взять такие, чтобы было

то получится как раз уравнение (2). Для этого надо взять

В последней формуле (3), вообще говоря, может оказаться отрицательным. Однако в случае, когда уравнение (2) имеет хотя бы один действительный корень имеет место равенство

Обозначая через равенство (4) можно переписать так:

или так:

Таким образом, в случае, когда уравнение (2) имеет действительный корень, число положительное, уравнение

есть уравнение окружности, и все действительные корни уравнения (2) суть абсциссы точек пересечения параболы с этой окружностью.

(В случае эта окружность проходит через начало координат).

Таким образом, если заданы коэффициенты уравнения (2) и надо найти по формулам то, если уравнение (2) заведомо не имеет действительных корней. Если же то абсциссы точек пересечения окружности с центром и радиусом с раз навсегда вычерченной параболой дают все действительные корни уравнения (2), причем и в случае получаемая окружность может не пересекать параболы и уравнение (2) может не иметь действительных корней.

Рис. 10.

Пример. Пусть задано уравнение 4-й степени:

Мы имеем тогда

На рис. 10 показаны соответствующая окружность и корни рассматриваемого уравнения.

Параграфы 1,2,3 и 4 содержат в кратком и более близком к современному изложении наиболее существенное, что есть в книге Декарта.

Со времени Декарта до наших дней аналитическая геометрия прошла большой путь развития, плодотворный для самых разных частей математики. Мы попробуем в дальнейших параграфах этой главы проследить наиболее важные этапы этого пути.

Прежде всего надо сказать, что изобретатели анализа бесконечно малых уже владели методом Декарта. Будь то вопрос о касательных или нормалях (перпендикулярах к касательным в точках касания) к линии, или вопрос о максимумах и минимумах функции, если рассматривать его геометрически, или вопрос о радиусе кривизны линии в данной ее точке и т. д., — всегда рассматривают прежде всего, по Декарту, уравнение этой линии и затем уже находят уравнение нормали, уравнение касательной и т. д. Поэтому анализ бесконечно малых, дифференциальное и интегральное исчисления были бы немыслимы без предварительной разработки аналитической геометрии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление