Главная > Математика > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Общее уравнение 2-й степени с тремя переменными и 17 его канонических видов.

Уравнение 2-й степени с тремя переменными

содержит 10 членов. Аналогично тому, как это было сделано для уравнения с двумя переменными, можно показать, что, соответственно повернув заданные прямоугольные координаты вокруг начала, можно привести уравнение (17) к виду

т. е. уничтожить члены с произведениями переменных. Однако здесь доказательство возможности так упростить уравнение гораздо труднее, чем в случае плоскости. Трудность доказательства объясняется тем, что на плоскости поворот вокруг точки задается одним углом , который мы и подбирали. В пространстве же поворот тела вокруг неподвижной точки задается тремя независимыми углами (углы Эйлера) и притом довольно сложно. Поэтому приходится доказывать возможность избавления уравнения от членов с произведениями переменных обходным путем.

(см. в главе XVI (том 3) теорию приведения при помощи ортогонального преобразования квадратичной формы к сумме квадратов). Далее, так же как на плоскости, производится еще тот или иной параллельный перенос осей, и уравнение упрощается, после чего уравнение (18) окончательно принимает один из следующих канонических видов:

Последние девять канонических уравнений (9—17) не содержат членов с z и представляют собой как раз канонические уравнения линий 2-го порядка на плоскости Оху. В пространстве эти уравнения выражают цилиндры, направляющие которых суть соответственные; линии 2-го порядка в плоскости Оху и образующие которых параллельны оси Oz. Действительно,

если какому-нибудь из этих уравнений удовлетворяет точка с координатами то ему же удовлетворяет и точка с координатами какое бы ни взять так как все равно в уравнении нет членов с

Из уравнений как легко видеть, уравнению 2) не удовлетворяет никакая точка с действительными а уравнению 6) удовлетворяет только одна такая точка - начало координат. Остается, таким образом, изучить только шесть уравнений: 1), 3), 4), 5), 7), 8).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление