Главная > Математика > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Перспективные проекции.

Уже давно художники начали изучать законы перспективы. Это было нужно потому, что человек видит предметы в перспективной проекции на сетчатку глаза, при этом форма и взаимное расположение предметов своеобразно искажаются.

Рис. 78.

Рис. 79.

Например, уходящие вдаль телеграфные столбы как будто уменьшаются и сгущаются, параллельные рельсы железнодорожного пути кажутся сходящимися и т. д. Мы не будем здесь рассматривать пространственной перспективы, т. е. свойств перспективных проекций пространственных предметов на плоскость, а рассмотрим только свойства перспективных проекций плоскости на плоскость.

Пусть имеется снимок (например, кадр кинофильма) Р, экран Р и расположенный между ними объектив S (рис. 78). Тогда, если снимок прозрачный и его осветить сзади (если он непрозрачный, то спереди, т. е. с той стороны, где находится объектив), то освещенные точки снимка излучают пучки света, собираемые объективом так, что они снова в виде точек проектируются на экран Р. Будем считать, что дело происходит так, как будто бы точки снимка Р проектировались на экран Р прямыми, проходящими через оптический центр S объектива.

Все будет совсем просто, если плоскости Р и Р параллельны. В таком случае на плоскости Р, очевидно, получается подобное изображение всего того, что есть на плоскости Р. Изображение это будет уменьшенное или увеличенное в зависимости от того, будет ли отношение где — расстояния от центра объектива до плоскостей Р и Р, меньше или больше единицы.

Гораздо сложнее будет обстоять дело, если плоскости Р и Р не параллельны (рис. 79). В этом случае при проектировании через точку S не только изменяется величина фигур, но и форма их искажается. Параллельные прямые могут при этом проектироваться как сходящиеся; отношение, в котором точка делит отрезок, может измениться и т. д. Вообще некоторые соотношения, которые остаются неизменными даже при любом аффинном отображении, здесь могут изменяться.

Такого рода проекция имеет место, например, при аэрофотосъемке Самолет при полете качается, и поэтому жестко прикрепленный к нему фотоаппарат (рис. 80 а), вообще говоря, не обращен объективом строго вертикально вниз и в момент] снимка большей частью расположен как-то косо, т. е. получается искаженное изображение местности (которую мы предполагаем плоскою).

Как выправить это изображение? Для этого надо изучить свойство проекций плоскости Р на другую плоскость II, вообще говоря, ей не параллельную, — прямыми, проходящими через точку не лежащую ни. в плоскости Р, ни в плоскости П. Такие проекции называются перспективными проекциями.

Мы докажем дальше следующую замечательную теорему.

Теорема. Бели имеются две перспективные проекции плоскости Р на плоскость П, такие, что при обеих проекциях точки А, В, С, образующие четверку точек «общего положения» плоскости Р (т. е. такую четверку, у которой никакие три из ее точек не лежат на одной прямой), проектируются в одни и те же точки А, В, С, D плоскости П, то и все точки плоскости Р проектируются при обеих проекциях в одни и те же точки плоскости П.

Другими словами, результат перспективной проекции вполне определен, если известно, в какие точки при ней переводят точки какой-нибудь четверки точек общего положения проектируемой фигуры.

Это — так называемая теорема единственности теории проективных отображений или основная теорема плоской перспективы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление