Главная > Математика > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СЧЕТНЫХ МАШИН

Применение электронных счетных машин должно оказать большое влияние на развитие многих областей современной науки и техники, особенно на развитие физико-математических наук. Поэтому целесообразно попытаться наметить основные перспективы дальнейшего применения счетных машин и то значение, которое это должно иметь для математики.

Дальнейшее расширение области применения математических машин.

1. В настоящее время происходит непрерывный и интенсивный технический прогресс в области производства быстродействующих счетных машин за счет дальнейшего усовершенствования их конструкции и использования новых физических принципов и узлов новых типов. Это позволяет ожидать улучшения технических характерстик этих машин (быстрота, емкость памяти, бесперебойность и надежность в работе), а также значительного упрощения и облегчения их конструкции и эксплуатации, что должно обеспечить возможность широкого распространения этих машин.

Широкому использованию машин способствует также разнообразие их типов. Наряду с мощными машинами с наиболее высокой производительностью имеются малогабаритные, простые в обслуживании малые машины, доступные любому научному и проектному институту или заводу; наряду с универсальными имеются более простые специальные машины, рассчитанные на определенный круг задач; наряду с чисто цифровыми созданы образцы машин, воспринимающие данные непрерывно по показаниям приборов, обрабатывающие их цифровым образом, но выдающие результаты также непрерывно в форме кривых или параметров, управляющих связанными с машиной устройствами.

2. Другой путь в повышении эффективности использования этих машин состоит в дальнейшем усовершенствовании методов программирования. Составление программы обычными способами, описанными в § 2, легко осуществимо лишь в отношении сравнительно простых математических задач; в больших реальных задачах оно представляет довольно сложную и длительную работу. Некоторое облегчение в этой работе дает использование «библиотеки» раз навсегда составленных стандартных подпрограмм для вычисления основных функций и выполнения некоторых употребительных математических операций (обращение матрицы, численное интегрирование). Несмотря на это, согласование основной программы с подпрограммами, адресация и переадресация результатов, проверка и отладка программы представляют собой достаточно сложную и длительную

работу, требующую определенного навыка. Это обстоятельство может существенно тормозить постановку новых работ на электронные машины.

Есть два пути дальнейшего развития в этом направлении. Один из них состоит в автоматическом построении программы с использованием самой машины для этой цели, т. е. для превращения основных формул и логического плана задачи, вводимых в машину в закодированном виде, в программу посредством работы машины по специальной «программирующей программе».

Другой путь состоит в том, что машина, действуя по некоторой специальной универсальной программе, непосредственно разбирает и выполняет операции в соответствии с введенным в машину общим планом вычислений, содержащим ряд крупных заданий (например, решение системы уравнений), без составления детальной рабочей программы, обеспечивая при этом правильное размещение и вывод результатов.

3. Дальнейший прогресс в применении вычислительных машин в математике связан с использованием машин при выполнении не только числовых, но и аналитических выкладок.

Принципиально такая возможность в известных случаях очевидна и вполне реальна. Скажем, если многочлены записывать системой их коэффициентов, то такие действия, как умножение или деление многочленов, представляют арифметические операции над последовательностями коэффициентов, легко программируемые на машинах. Используя определенную кодировку в записи функций, вполне возможно построить программу, дающую по элементарной функции ее производную (записанную тем же кодом), т. е. позволяющую производить дифференцирование в аналитической форме. Все это даст возможность в дальнейшем выполнять решение задач по определенному методу (например, решение системы дифференциальных уравнений степенными рядами), с полным осуществлением аналитических и числовых выкладок. Таким образом, счетные машины могут быть использованы для выполнения довольно тонкой и квалифицированной умственной работы (но лишь работы стандартного характера), подобно тому как обычные машины применяются для замены труда не только землекопа, но и вышивальщицы.

Влияние быстродействующих машин на численные и приближенные методы.

Используемые средства и орудия труда, естественно, оказывают влияние на сами методы работы. Например, формулы тригонометрии, рассчитанные на применение логарифмов, невыгодны при использовании вычислительных машин, дающих возможность прямого выполнения умножения и деления. Применение настольных автоматов делает целесообразным использование других вычислительных схем в приближенных методах (например, безразностные схемы в дифференциальных уравнениях).

Естественно, что те коренные изменения в вычислительных средствах и те возможности, которые открывает применение электронных счетных

машин, должны повлечь за собой переоценку не только методов численного анализа, но в известной степени и вообще задач математики и ее приложений.

Перечислим некоторые из подобных вопросов, относительно которых эти изменения наиболее ясны.

Математические таблицы и другие способы введения функций в вычисления. Прежде всего электронные машины коренным образом меняют возможности вычисления таблиц. Вместо единичных таблиц функций, осуществим ежегодный выпуск сотен таблиц, что даст возможность создать полные и точные таблицы всех основных специальных функций не только одного, но и нескольких переменных. В то же время структура таблиц должна существенно измениться. При применении быстродействующих машин удобны компактные таблицы, содержащие редкие базовые значения и рассчитанные на интерполирование высокого порядка.

Во многих случаях, вместо таблиц, удобнее пользоваться другими способами введения функций — поинтервальные полиномы наилучшего приближения, разложение в непрерывную дробь, аппроксимативные формулы, основанные на численной реализации интегрального лредставления функций и т. п., которые должны быть доведены до программы вычисления данной функции.

Специальные функции и частные аналитические решения. Использование специальных функций и построение решения в конечном виде в аналитической форме сохраняют свое значение для качественного исследования задач, а также для выяснения характера их особенностей, учет которых важен и при численном решении задачи. В некоторых задачах большого объема оно может дать и наиболее экономный путь численного нахождения решения. В то же время возможное во многих частных случаях построение точного или приближенного решения при помощи сложных по аппарату средств и специальных функций, которое проводилось раньше с целью облегчения его вычисления, окажется неоправданным. При применении машины может оказаться более простым и более коротким нахождение решения общими численными методами без использования указанных возможностей его аналитического представления.

Таким образом, значительные усилия, которые затрачивались для получения в сложной аналитической форме решений отдельных частных задач в технических дисциплинах и механике, во многих случаях будут ненужными.

Выбор численных методов. Неправильно думать, что, благодаря высокой производительности электронных машин, отпадает надобность в развитии приближенных методов и что можно пользоваться самыми примитивными из них. В действительности, лишь при решении простейших одномерных задач, независимо от выбора метода — будет ли число операций измеряться десятками или десятками тысяч, — задача может быть решена на электронной машине в несколько секунд или минут.

Так как при систематическом решении новых, более сложных задач нередко каждая из них требует выполнения десятков и сотен миллионов операций, то правильный выбор метода, позволяющий сократить это число, уже весьма существенен. Поэтому становится актуальной разработка эффективных приближенных методов, в первую очередь для многомерных задач (интерполирование функций многих переменных, вычисление кратных интегралов, решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, решение пространственных интегральных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, а также их систем и т. п.).

В то же время значительно меняется взгляд на оценку методов: они должны оцениваться по возможности их реализации на машинах и по универсальности, т. е. по широте и массовости их применения. Поэтому в известной мере потеряют значение методы, основанные на частных особенностях задачи и на искусстве лица, производящего расчет.

Наибольшее значение должны приобрести универсальные способы, применимые к широкому кругу проблем: разностные, вариационные, метод градиента, итеративные методы, линеаризация и т. п.

Конечно, при выборе численных методов и способов их осуществления должно приниматься во внимание то, что метод осуществляется именно на машине, причем иногда даже следует учитывать и особенности ее конструкции. В частности, существенна возможность максимального использования оперативной памяти, уменьшение числа данных, вводимых извне, возможность введения промежуточных контролей, удобство программирования задачи.

Не следует, однако, считать, что на машинах могут быть реализованы лишь Простейшие методы, основанные на однотипных операциях. Широкие возможности программирования и дальнейшее усовершенствование его приемов позволяют осуществлять на машинах и весьма сложные вычислительные схемы с разнообразными разветвлениями, изменением хода вычислений в зависимости от получаемых результатов, даже трудно реализуемые при ручном счете. Существенно лишь то, чтобы в программе все эти возможности были полностью предусмотрены.

Также не следует считать, что на машинах не реализуемы методы, требующие алгебраических операций. Как уже упоминалось, выполнение некоторых аналитических выкладок также вполне осуществимо.

Значение оценок погрешности. В оценках погрешности приближенных методов большее значение должны получить оценки асимптотического характера, так как большие значения (например, число уравнений при замене интегрального уравнения алгебраической системой), малые шаги в разностных методах и т. п. становятся вполне реализуемыми на быстродействующих машинах. В соответствии с этим при сравнительной оценке приближенных методов решающее значение получат асимптотические оценки, характеризующие быстроту сходимости метода.

При реализации методов на машине большее применение должны получить апостериорные оценки погрешности — оценки на основе вычисленного решения. Такие оценки могут включаться в программу вычи-слений; в зависимость от их результата может ставиться дальнейший ход вычислений. Так, например, если окажется, что погрешность недопустимо велика, может быть автоматически повторен расчет с вдвое уменьшенным шагом. В этом отношении апостериорные оценки могут оказаться более удобными и реальными, чем априорные, которые неизбежно бывают завышенными и строятся значительно сложнее.

Возможность теоретического анализа задачи. Следует указать еще на одну возможность использования данных, полученных при численном решении задачи. Именно, по полученному приближению, применяя методы функционального анализа, можно судить о существовании и единственности решения, а также установить область расположения решения. Поскольку такое исследование при помощи чисто теоретических методов иногда чрезвычайно сложно и длительно и потому в частных задачах фактически неосуществимо, возможность использования для этой цели численных расчетов, производимых на машине, представляет несомненный интерес.

Новая проблематика в численных методах. Резкое увеличение вычислительных возможностей и накопление практики их использования вызвали к жизни новую проблематику в исследовании численных методов. Вместо единичных в прошлом случаев решения систем линейных уравнений с большим числом неизвестных такие системы становятся постоянным элементом при решении математических задач. Это сделало весьма актуальным вопрос о влиянии округления не только в коэффициентах, но и в процессе решения такой системы на точность определения неизвестных. Этому вопросу посвящен уже ряд интересных исследований.

Возможность численного интегрирования на машинах систем дифференциальных уравнений на большом интервале с малым шагом заострила вопрос о стабильности (устойчивости) процессов численного интегрирования уравнений. Опытный анализ этого вопроса и произведенное затем теоретическое исследование привели к существенной переоценке методов численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Вопросы устойчивости имеют первостепенное значение также при применении разностных методов к уравнениям в частных производных.

Новые методы. Возможность использования машин приводит к появлению совсем новых типов приближенных и численных методов или делает вполне осуществимыми и практичными методы, ранее казавшиеся совершенно нереальными. Характерный пример этого — способ случайных проб (или, как его часто называют, «способ Монте-Карло»). Этот метод состоит в том, что для нахождения интересующей нас величины подыскивается вероятностная задача, решение которой (вероятность,

математическое ожидание) совпадает с искомой величиной. Для последней задачи решение находится экспериментально — случайными пробами, как среднее значение в ряде испытаний. Например, для определений площади фигуры, определяемой неравенством содержащейся в квадрате (0,1; 0,1), нужно, выбирая в этом квадрате случайные пары определить долю тех из них, для которых выполняется указанное неравенство. Конечно, такой способ был бы чрезвычайно мало эффективен, если бы эти пробы производились вручную, Но если привлечь машины, то он становится вполне осуществимым. Сами пробы могут выполняться при помощи таблиц случайных чисел. Для некоторых задач, например для нахождения с небольшой точностью многомерных интегралов, такой способ может оказаться даже эффективнее других.

Подобный же метод может использоваться для задачи обращения матриц, если его применить к испытаниям подходящей цепи Маркова, а также при решении уравнения в частных производных, если указав связанный с ним стохастический процесс.

Значение быстродействующих машин для математического анализа механики и физики.

В математическом анализе существенно больший интерес и практическое значение приобретет исследование многомерна» задач, относящихся к интегральным уравнениям и граничным задачам математической физики. Эти исследования и найденные методы решения не будут оставаться втуне, а смогут быть полностью реализованы благодаря использованию новых средств вычислительной техники, тем более, что систематическое решение таких задач становится сейчас весьма актуальным. Естественно, что вновь разрабатываемые методы решения должны учитывать возможности их осуществления.

С другой стороны, возможность проведения, благодаря машинам многочисленных пробных расчетов, притом с достаточной точностью, чрезвычайно расширяет область применения и повышает эффективности «математического эксперимента» при предварительном исследовании математических задач. Это делает важным разработку методики применения данного пути исследования как в целом, так и в отдельных вопросах, например при качественном исследовании дифференциальных уравнений.

Интересно обратить внимание также на то, что машины могут использоваться в задачах анализа не только в связи с его приложениями, и для его внутренних теоретических потребностей. Так, расчеты на машинах могут оказаться нужными для уточнения постоянных в некоторых функциональных неравенствах и оценках; такого же рода применение машинные вычисления получают не только в анализе, но и в теории чисел.

Наконец, машины могут использоваться для проверки истинности формул математической логики, а поскольку ряд математических предложений

и доказательств можно записать при помощи символов математической логики, представляется принципиально возможным на быстродействующих машинах проверять логическую правильность некоторых математических выводов.

Если говорить о механике и физике, то прежде всего должно быть подчеркнуто огромное расширение применения математики в этих науках. До настоящего времени применение математики в конкретных проблемах математической физики ограничивалось сложностью и объемом необходимых вычислений. В реальных задачах обычно этот объем был таков, что расчет одной задачи требовал нескольких месяцев, а иногда и лет вычислительной работы. Поэтому, несмотря на то, что была известна весьма общая математическая постановка многих задач механики и теоретической физики и был принципиально разработан ряд методов их решения, фактически математическое решение, точное или численное, было осуществлено лишь для немногих идеализированных и крайне упрощенных случаев (плоские или осесимметричные задачи, простейшие ограничивающие контуры, бесконечное крыло самолета и т. п.).

В результате математические решения использовались не столько для отыскания нужных расчетных величин, сколько для качественного или ориентировочного исследования задачи, которое на практике приходилось дополнять дорогостоющим экспериментом.

Напротив, применение новых вычислительных средств открывает возможность массового решения задач механики и физики в реальной их сложности (пространственных задач, задач со сложными ограничивающими контурами, нелинейных уравнений, систем уравнений в частных производных).

Конечно, осуществление этой возможности требует дальнейшей разработка методов численного анализа указанных задач и способов решения их на машинах. Однако о ее реальности свидетельствует имеющийся уже опыт успешного применения быстродействующих машин при решении систем уравнений в частных производных в метеорологии, в газовой динамике, уравнений сыпучей среды и других вопросов.

Широкая возможность осуществления теоретического математического. анализа задач механики и физики, приближения их постановки к условиям реальных физических задач, придание этому анализу быстроты к гибкости в результате применения быстродействующих машин позволят, в большом числе случаев заменить физический эксперимент математическим. Это будет иметь следствием дальнейшее усовершенствование методов исследования задач физики и механики, а также то, что теоретические и расчетные методы займут еще больше места в этом анализе.

Значение электронных машин для техники и производства.

Быстрота и эффективное численное решение задач математического анализа позволят и в различных технических дисциплинах (строительная механика, электротехника и радиотехника, гидравлика и гидротехника

и т. д.) гораздо шире использовать теоретические методы исследования технических вопросов и сделать такой анализ более точным и реальным. Это даст возможность применять математический анализ также и к таким техническим задачам, в которых он до сих пор вовсе не использовался.

Наряду с численным решением задач математического анализа, встречающихся в технических дисциплинах, открываются и совершенно другие возможности применения математических машин в технике. Возможно будет применять математические машины, например при техническом проектировании — при выборе варианта конструктивного решения или размещения каких-либо объектов. В вопросах организации производства, при выборе распределения и последовательности работ возможны многие дискретно различные варианты решения. Выбор наилучшего, наиболее производительного, наиболее экономного варианта представляет большие трудности. И здесь могут найти применение машины, так как если удастся запрограммировать систематический пересмотр подобных вариантов, с подсчетом интересующих нас характеристик, то при помощи машинных вычислений можно будет сопоставлять десятки и сотни тысяч вариантов, что непосильно при обычных методах.

В частности, ряд типов релейно-контактных схем допускает анализ и проверку логико-математическими методами, которые могут быть осуществлены на быстродействующих машинах. Таким же путем можно сопоставлять по тем или иным признакам несколько вариантов подобных схем и выбирать лучший из них.

Весьма перспективно использование машин в автоматическом упра-г влении производством, если такие машины связаны со следящими и передающими приборами. Например, в соответствии с введенными в машину геометрическими данными об изделии, она по определенной программе может вырабатывать и передавать параметры, определяющие режим работы станка, и необходимые изменения в нем. Благодаря быстродействию одна и та же электронная машина может использоваться для одновременного управления работой нескольких станков. Понятно также то значение, которое могут иметь подобные машины для автоматического управления движущимися объектами, например межпланетными ракетными снарядами, так как программа управления может учитывать, помимо заранее введенных данных, изменение обстановки, характеризуемое показаниями приборов.

Таким образом, вопросы конструкции и анализа работы вычислительных машин и возможностей их применения представляют обширное поле деятельности для математики. Использование математических машин в ближайшие годы несомненно сыграет большую роль в росте советской техники и культуры.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

ИСПРАВЛЕНИЯ И ОПЕЧАТКИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление