Главная > Математика > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Принцип причинной обусловленности всех явлений находит наиболее простое математическое выражение в методе изучения реальных процессов при помощи дифференциальных уравнений; этод метод продемонстрирован на ряде примеров в § 1 главы V.

Пусть состояние изучаемой системы в момент времени I определяется при помощи параметров

Скорости изменения этих параметров, как известно, выражаются их производными по времени

Если допустить, что эти скорости являются функциями от значений параметров, то мы получим систему дифференциальных уравнений

Большая часть ааконов природы, открытых в эпоху зарождения математического естествознания, начиная с галилеевского закона падения тел, выражается именно таким образом. Галилей не мог облечь свое открытие в указанную стандартную форму из-за того, что в его время соответствующие математические понятия еще не были разработаны. Это было сделано Ньютоном.

Обычное в механике и многих других областях физики обращение к дифференциальным уравнениям второго порядка с принципиальной стороны не вносит ничего нового, так как, обозначая скорости новыми знаками

мы получаем для вторых производных величин выражение

и уравнения второго порядка для величин сводятся к уравнениям первого порядка для величин

В виде примера рассмотрим задачу падения тяжелого тела в земной атмосфере. Предполагая, что в рассмотрение входят лишь небольшие высоты над земной поверхностью, будем считать сопротивление «реды зависящим только от скорости, а не от высоты. Состояние изучаемой системы характеризуется двумя параметрами: расстоянием тела земной поверхности и его скоростью Изменение этих двух величий во времени определяется двумя дифференциальными уравнениями

где — ускорение силы тяжести, некоторый «закон сопротивления» для рассматриваемого тела.

Если скорости невелики и тело достаточно массивно, например в случае падения камня средних размеров с высоты в несколько метров, то сопротивлением воздуха можно пренебречь, и уравнения (31) превращаются в уравнения

Если предположить, что в начальный момент времени величины имеют значения легко решить уравнения (32) и получить формулу

описывающую весь процесс падения. Например, в предположении получаем формулу

открытую Галилеем.

В общем случае интегрирование уравнений (31) несколько сложнее, но принципиальный результат (при весьма общих ограничениях, наложенных на функцию остается тем же: по значениям в начальный момент времени однозначно вычисляются значения для всех дальнейших моментов времени t вплоть до падения тела на поверхность земли. Можно мысленно снять и это последнее ограничение, предполагая, что падение продолжается и при отрицательных значениях 2. Для схематизированной таким образом задачи можно установить следующее: если функция при возрастании монотонно возрастает и стремится к бесконечности при то при неограниченном продолжении падения, т. е. при неограниченном возрастании переменного скорость стремится к постоянному предельному значению с, которое является корнем уравнения

С наглядной стороны этот результат математического анализа поставленной задачи понятен: скорость падения возрастает до тех пор, пока ускорение силы тяжести не уравновесится сопротивлением воздуха. При прыжке с открытым парашютом стационарная скорость около пяти метров в секунду устанавливается довольно скоро. При затяжном прыжке с нераскрытым парашютом сопротивление воздуха меньше, и в соответствии с этим стационарная скорость оказывается

больше и устанавливается лишь после того, как парашютист пролетит очень большое расстояние.

При падении легких тел, подобных брошенному в воздух перу или пушинке, начальный период заметным образом ускоренного движения очень мал и иногда совсем незаметен. Стационарная скорость падения устанавливается очень быстро, и с известным приближением можно принять, что все время В этом случае остается одно дифференциальное уравнение

которое интегрируется очень просто:

Так будет падать пушинка в совершенно спокойном воздухе.

В совершенно общем виде подчеркнутая нами выше детерминистическая концепция трактуется в современной теории динамических систем, которой посвящен ряд важных работ советских математиков — Н. Н. Боголюбова, В. В. Степанова и многих других. Эта общая теория охватывает как частные случаи и такие математические схемы реальных явлений, в которых состояние системы определяется уже не конечным числом параметров, а заданием одной или нескольких функций, как это типично, например, для механики непрерывных сред. В таких случаях элементарные закономерности изменения состояния за «бесконечо малый» промежуток времени задаются уже не обыкновенными дифференциальными уравнениями, а уравнениями в частных производных или иными средствами. Но общим во всех детерминированных математических схемах реальных процессов является то, что, во-первых, состояние изучаемой системы считается исчерпывающим образом определенным посредством задания некоторого математического объекта (системы действительных чисел, одной или нескольких функций и т. во-вторых, последующие значения для моментов времени однозначно определяются по значению соответствующему начальному моменту времени

Как мы уже видели, в случае процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, нахождение функции требует интегрирования этих дифференциальных уравнений с начальными условиями при

Представители механистического материализма считали, что описанная схема является точным и прямым выражением детерминированности реальных явлений — физического принципа причинности. По идее Лапласа, состояние мира в данный момент времени определяется бесконечным числом параметров, подчиненных бесконечному числу дифференциальных

уравнений. Если бы некий «всеобъемлющий ум» мог записать все эти уравнения и их проинтегрировать, то, по Лапласу, он мог бы с полной точностью предвидеть всю эволюцию мира на протяжении бесконечного времени.

Однако на самом деле количественная математическая бесконечность крайне груба по сравнению с качественной неисчерпаемостью действительного мира. Ни введение бесконечного числа параметров, ни описание состояния непрерывных сред при помощи функций от точки пространства не являются адэкватным отображением бесконечной сложности реальных явлений.

Как подчеркивалось в § 3 главы V, исследование реальных явлений не всегда идет в направлении увеличения числа вводимых в задачу параметров; вообще далеко не всегда целесообразно усложнять ту характеристику которая определяет отдельное «состояние системы» в математической схеме, служащей для расчета данного явления. Искусство исследователя скорее состоит в том, чтобы найти очень простое фазовое пространство (т. е. множество значений или, иначе говоря, множество различных возможных состояний системы) которое позволяло бы тем не менее, заменяя реальный процесс процессом детерминированного перемещения точки в этом пространстве, ухватить все существенные стороны реального процесса.

Но, выделив из реального процесса его существенные черты, мы получаем некоторый остаток, который приходится считать случайным. Неучтенные случайные факторы всегда оказывают некоторое влияние на течение процесса. Существует очень мало явлений, подвергающихся математическому изучению, для которых при сопоставлении теории с наблюдениями нельзя было бы заметить влияния неучтенных случайных факторов. Таково или почти таково положение с теорией движения планет под действием силы тяготения: расстояния между планетами так велики по сравнению с их размерами, что идеализированное представление их материальными точками действует почти безотказно; пространство, в котором они двигаются, заполнено столь разреженной материей, что ее сопротивление исчезающе мало; массы планет так велики, что световое давление при их движении почти не играет роли. Эти исключительные обстоятельства и приводят к тому, что математическое решение задачи о движении системы из материальных точек, «состояние» которой описывается параметрами, а изменение состояния рассчитывается с учетом только силы тяготения, так поразительно хорошо совпадает с наблюдениями над движением планет.

Несколько приближается к случаю движения планет случай полета артиллерийского снаряда в предположении, что сопротивление воздуха введено в уравнения движения. Это тоже одна из классических областей, в которых математический метод исследования сравнительно легко и быстро одержал большие победы. Но здесь роль возмущающих случайных факторов уже значительно больше и рассеивание снарядов, т. е. их отклонения от теоретической траектории, соответствующей нормальным, назначенным для данного выстрела начальным условиям и среднему состоянию атмосферы во время стрельбы, достигают десятков, а на больших дистанциях и сотен метров. Отклонения эти частично вызываются случайными отклонениями начального направления и начальной скорости от нормы, частично случайными отклонениями от нормы массы и коэффициента сопротивления снаряда, частично же неравномерностью и порывами ветра и прочими случайными обстоятельствами, связанными с чрезвычайно сложным и подвижным режимом, господствующим в реальной земной атмосфере.

Рассеивание снарядов подробно изучается методами теории вероят ностей, и результаты этого исследования весьма существенны для практики стрельбы.

Но что означает, собственно говоря, исследование случайных явлений? Казалось бы, когда случайный «остаток» при данной схематизации явления оказался настолько велик, что им нельзя пренебречь, то единственная возможность состоит в том, чтобы осложнить описание явления введением новых параметров и в усложненной схеме исследовать явление более подробно по той же математической схеме детерминированных явлений.

Такой путь во многих случаях практически неосуществим. Например, при исследовании падения материального тела в атмосфере с учетом неравномерной, порывистой (или, как обычно говорят, турбулентной) структуры ветрового потока вместо двух параметров пришлось бы ввести совершенно необозримый математический аппарат полного описания этой структуры.

Но этот сложный путь на самом деле необходим только в тех случаях, когда нам во что бы то ни стало нужно проследить влияние остаточных «случайных» факторов на течение нашего процесса во всех деталях и отдельно для каждого индивидуального случая. К счастью, в действительности очень часто наши реальные потребности заключаются совсем в другом: требуется лишь оценить суммарный эффект действия случайных факторов за большой промежуток времени или в большом числе повторений изучаемого процесса.

В качестве примера рассмотрим перенос песка водным потоком в реке или в том или ином искусственном гидротехническом сооружении. Обычно этот перенос происходит таким образом, что большинство песчинок спокойно лежит на дне и лишь изредка особенно сильные

завихрения вблизи дна выхватывают отдельные песчинки и переносят их сразу на довольно значительные расстояния вплоть до внезапной остановки в каком-либо новом месте. Чисто теоретически движение каждой такой песчинки могло бы быть рассчитано индивидуально по законам гидромеханики. Но для этого нам было бы необходимо знать начальное состояние дна и потока во всех деталях и рассчитывать его шаг за шагом, отмечая те моменты времени, когда давление на какую-либо покоящуюся песчинку окажется достаточным, чтобы привести ее в движение, и прослеживая перемещение сдвинутых с места песчинок вплоть до их остановки. Абсурдность постановки такой задачи для реального научного исследования очевидна. И несмотря на это, средние или, как принято говорить, статистические закономерности передвижения донных наносов водными потоками вполне поддаются изучению.

Примеры, в которых действие большого числа случайных факторов приводит к вполне отчетливым статистическим закономерностям, было бы легко умножить. Один из самых увлекательных по широте перспектив и в то же время самых известных такого рода примеров доставляет кинетическая теория газов, которая показывает, как из совместного действия множества случайных столкновений молекул возникают точные закономерности, которым подчинены давление газа, как целого, на стенки, диффузное распространение одного газа в другом и т. д.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление