Главная > Математика > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. АБСТРАКТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И РЕАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. Следуя в предыдущем изложении развитию геометрических идей начиная от Лобачевского, мы углубились в абстрактные пространства и довольно далеко ушли от первоначального предмета геометрии — того рзалыюго пространства, в котором протекают все явления. Теперь мы обратимся к этому пространству в обычном смысле, и нашей задачей

будет выяснить, что дало развитие абстрактной геометрии для познания его свойств.

Мы знаем, что геометрия возникла из опыта, из опытпого исследования пространственных форм и отношений тел: из измерений земельных участков, объемов сосудов и т. п. Таким образом, по происхождению она есть такая же физическая теория, как, скажем, механика. Аксиомы эвклидовой геометрии — это четко сформулированные выводы из длительного опыта; они выражают законы природы, и их можно называть законами геометрии так же, как основные законы механики часто теперь называют аксиомами механики. Но нельзя утверждать, что эти законы являются абсолютно точными и никогда не потребуют уточнения и обобщения в связи с новыми опытными данными; реальные свойства пространства могут в той или иной мере отличаться от того, что дает эвклидова геометрия.

Эти рассуждения мы уже приводили, и теперь они представляются, пожалуй, совсем очевидными. Но не так было сто лет назад, когда идеи Лобачевского еще не завоевали общего признания. До Лобачевского и Гаусса никому и в голову не приходило, что эвклидова геометрия может оказаться не совсем точной, что реальные свойства пространства могут быть несколько иными. Лобачевский развивал свою геометрию как теорию возможных свойств реального пространства. Позже Риман и некоторые другие ученые также ставили вопрос о возможных свойствах пространства, о возможных законах измерения длин, которые могли бы обнаружиться при уточнении измерений. Вообще абстрактная геометрия в некоторых своих частях могла и может рассматриваться как теория возможных свойств пространства. Все это оставалось, однако, в области гипотез, пока в 1915 г. Эйнштейн в своей общей теории относительности не подтвердил идей Лобачевского и Римана. Эта теория утверждает, что геометрия реального пространства действительно несколько отлична от эвклидовой, это обнаруживается именно в астрономических масштабах, как того ожидал Лобачевский.

В том, что было только что сказано о пространстве, скрыты по крайней мере три трудности. К их выяснению и сводится в конечном счете проблема отношения абстрактной геометрии к физической геометрии, т. е. к свойствам реального пространства.

Первая трудность состоит в том, чтобы по возможности представить себе, как и в каком смысле свойства реального пространства могут отличаться

от того, что дает эвклидова геометрия. Мы слишком привыкли к ней, чтобы легко вообразить себе что-нибудь другое, и разъяснения тут, конечно, необходимы.

Вторая трудность заключена в самом выражении «свойства реального пространства». Пространство само по себе мыслят как пустое и однородное. Казалось бы, в самом понятии пространства уже заключено представление о его однородности. И как пустое пространство, т. е. «пустота», может иметь какие-то свойства? Мы говорим «свойства пространства», не задумываясь над этими вопросами, но стоит в них вдуматься, как указанная трудность станет достаточно ощутимой.

Третья трудность заключена в понятии об истинности той или иной геометрии. Казалось бы, дело очень просто: та геометрия истинна, которая соответствует действительности. Это, конечно, так. Но, с другой стороны, мы видели, например, что геометрию внутри круга можно понимать как геометрию Лобачевского, поскольку всякий геометрический факт внутри круга можно изложить как теорему геометрии Лобачевского. Следовательно, оказывается, что одни и те же геометрические факты можно излагать и как теоремы геометрии Эвклида и как теоремы геометрии Лобачевского. Значит, обе геометрии соответствуют действительности. Так, какая же из них истинна и в каком смысле, и почему мы все-таки считаем, что в круге на самом деле выполняется эвклидова геометрия, а геометрия Лобачевского в нем лишь изображается, интерпретируется?

Ясно, что в этих вопросах имеется известная трудность, о которую в свое время споткнулись и некоторые крупные математики.

Разъяснения следует начать со второй из названных трудностей, потому что из понимания того, что такое «свойства пространства», последует решение и других затруднений.

2. Предмет геометрии — «свойства пространства» — составляют свойства реальных тел, их материальные отношения и формы. В реальном пространстве «место», «точка», «направление» и т. п. определяется материальными телами. «Здесь» и «там», «туда» и «сюда» и т. п. имеют смысл лишь в связи, в отношении к тем или иным материальным предметам. «Здесь» может означать «на земле», «в этой комнате» или что-нибудь в том же роде; словом, «здесь» — это всегда означает место, определенное теми или иными материальными признаками. Точно так же, например, прямая линия не существует сама по себе, а лишь как натянутая нить, или край линейки, или луч света. Прямая же вообще, «прямая как таковая», есть абстракция, отражающая общие свойства этих материальных прямых, точно так же, как, скажем, «дом вообще» есть абстракция, отражающая общиз свойства домов; «дом вообще» не существует вне и независимо от отдельных реальных домов.

Этот объективный характер свойств пространства выражен известным положением диалектического материализма: пространство есть форма существования материи. Форма предмета определяется связями и отношениями

его частей. Структура пространства есть общая закономерность ряда отношений материальных тел и явлений. Это — пространственные отношения, пространственный порядок предметов, их взаимное расположение, расстояния и т. п. Но как всякая форма неотделима от содержания иначе, как в абстракции и в известных рамках, так и пространство неотделимо от материи. Представление о пространстве «самом по себе», пространстве без материи, есть абстракция, которой нельзя злоупотреблять. Реальные пространственные отношения и формы: «здесь», «между», «внутри», «прямая», «шар» и т. д. и т. п. - это всегда отношения и формы материальных тел. Геометрия же рассматривает их отвлеченно. Это отвлечение от конкретности необходимо, ибо иначе нет возможности познать общее в разнообразных конкретных отношениях предметов. Но нельзя это отвлечение абсолютизировать, подменять отвлеченными понятиями саму объективную реальность.

В абсолютно пустом пространстве, вовсе лишенном следов материи, ничем не различались бы ни места, ни направления, тут, следовательно, нет ни места, ни направлений, так что абсолютно пустое пространство превращается в ничто. Даже в абстрактном представлении пустого пространства молчаливо подразумевают, что в нем различимы разные места и направления. Другими словами, в отвлеченном представлении о пространстве удерживают свойства различимости места, направления, расстояния, которые в реальном пространстве существуют именно потому, что это пространство неразрывно связано с материальными телами.

Итак, пространство есть форма существования материи; «свойства пространства» — это, следовательно, свойства материи, свойства известных отношений материальных тел, их взаимного расположения, размеров и т. п.

Далее, для того чтобы теоремы геометрии имели физический смысл нужно знать, что в них следует понимать под «прямой», «расстоянием) и другими геометрическими понятиями. В § 4 мы видели, что одна и та же геометрическая теория допускает разные толкования.

Следовательно, сравнивая геометрию с опытом, нужно по возмож ности точно определять физический смысл геометрических понятий, по скольку геометрия описывает свойства реального пространства лишь при том условии, что ее понятиям приписывается соответствующий физи ческий смысл. Без этого физического смысла теоремы геометрии имеют абстрактно математический, формальный характер. В этом и состоит решение указанного выше второго затруднения. Это затруднение возни кает потому, что, вместо реального пространства, неразрывно связанной с материей, хотят мыслить «чистое» пространство, пространство «как таковое», которое есть, однако, не более как абстракция.

3. Теперь легко будет понять, как решаются два других затруднения

Как, во-первых, можно представить себе, что реальное пространство по своим свойствам отлично от эвклидова? Пусть мы хотим проверить

какое-либо утверждение эвклидовой геометрии, например, то, что сумма углов треугольника равна 180°, или то, что длина окружности равна Для проверки первого нужно определить, какие физически определенные треугольники будут рассматриваться и как будут определяться их углы. Пусть сторона треугольника — это луч света в пустоте. В таком случае нет ничего невероятного в том, что очень точные опыты покажут отличие суммы углов треугольника от 180°. Точно так же можно мыслить, что измерение радиуса и окружности одним и тем же масштабом приведет к результатам, не удовлетворяющим в точности соотношению Кстати, так это и есть на земной поверхности, где длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет медленнее и достигает максимума, когда радиус делается равным половине меридиана. На это можно возразить, что ведь на земной поверхности роль прямых играют дуги больших кругов, так что радиус понимается здесь в другом смысле, и потому наш результат не противоречит эвклидовой геометрии. Однако, согласно теории относительности, вблизи тел большой массы отношение длины окружности к «настоящему» радиусу все-таки несколько отличается от 2-, а именно верна следующая приближенная формула для отношения длины экватора однородного шарообразного тела к его радиусу:

где М — масса тела (в — радиус тела (в км), — скорость света, к — постоянная тяготения, равная при указанном выборе единиц измерения

Таким образом, мы видим, что отношение длины окружности к радиусу не равно а несколько меньше. Как показывает вычисление, на поверхности Солнца это отношение отличается от приблизительно на 0,000 004, а на поверхности спутника Сириуса, средняя плотность которого в 50 000 раз больше плотности воды, отклонение достигает уже 0,00014.

Можно, конечно, возразить, что все это тем не менее нельзя себе представить, что в наглядном представлении пространство всегда будет эвклидовым. Такое возражение не должно нас смущать, во-первых, потому, что задача науки состоит не в том, чтобы дать наглядное представление явлений, но в том, чтобы достигнуть их понимания. Наглядное представление ограничено и вращается в кругу привычных образов, доставляемых нашими органами чувств. Поэтому мы не в состоянии наглядно представить ни ультрафиолетовых лучей, ни распространения радиоволн, ни движения электрона в атоме, ни многого другого, иначе как подставляя на место этих явлений какие-нибудь модели. Но это вовсе не значит, что эти явления нам непонятны. Напротив, успехи радиотехники, например, ясно показывают, что мы вполне овладели радиоволнами

нами и, следовательно, понимаем их достаточно хорошо. Во-вторых, решение вопроса о том, что можно себе представить, а чего нельзя, зависит от привычки и тренировки воображения. Можно ли представить себе антиподов, которые по отношению к нам ходят вниз головой? Теперь мы можем себе это представить, а в свое время «невообразимость» антиподов служила аргументом против шарообразности Земли.

4. Теперь обратимся к последней трудности, т. е. к вопросу о том, какую геометрию следует считать истинной. При самой постановке этого вопроса было указано, что геометрические факты внутри круга можно излагать как теоремы и геометрии Эвклида и геометрии Лобачевского. Следовательно, обе эти геометрии отвечают действительности, т. е. обе они истинны. И в этом нет, в конце концов, ничего удивительного. Одно и то же явление всегда можно описывать разными способами; одну и ту же величину можно измерять разными единицами; одну и ту же кривую можно задавать разными уравнениями в зависимости от выбора системы координат. Совершенно так же данную выделенную совокупность геометрических соотношений (как в рассматриваемом примере соотношения внутри круга) можно описывать разными способами. Но мы ставим вопрос не о какой-то изолированной совокупности геометрических фактов, а о пространственных отношениях во всей их общности. Пространство есть универсальная форма существования материи, и, стало быть, при постановке вопроса о свойствах пространства никакая область фактов не может быть искусственно выделена.

При такой постановке вопроса геометрические величины, геометрические факты нельзя рассматривать изолированно от других явлений, с которыми они необходимо связаны. Например, длина отрезка определяется путем откладывания твердого масштаба, так что измерение длив необходимо связано с движением твердых тел, т. е. с механикой. Геометрия неотделима от механики. Между тем измерение длин внутри круга при интерпретации геометрии Лобачевского производится совсем иначе, как это было указано в § 4; хорда получает при этом бесконечную длину. Ясно, что так определенное измерение не соответствует первоначальному представлению об измерении, возникшему именно на основе механического перемещения сравниваемых реальных тел. Вообще фигуры, равные в смысле эвклидовой геометрии, это, по самому происхождению эвклидовой геометрии, те фигуры, которые накладываются друг на друга путем механического движения. В интерпретации геометрии Лобачевского равенство определяется иначе, роль движений там играют другие преобразования. Следовательно, если геометрические факты внутри круга брать в их необходимой связи с механикой, то мы должны признать, что на самом деле внутри круга имеет место (с большой точностью) именно эвклидова геометрия.

Эвклидова геометрия — это та, в которой роль движения играет обычное механическое движение твердых тел. Именно поэтому люди

открыли сперва эвклидову, а не какую-либо другую геометрию. Но развитие физики привело теперь к выводу, что законы ньютоновской механики и вместе с ними законы эвклидовой геометрии являются лишь приближением к более точным и общим законам. В этом изменении законов геометрии, в переходе от эвклидовой к римановой геометрия, осуществляемом в теории относительности, играла роль не только механика: не меньшее, если не большее, значение имела здесь теория электромагнитных явлений и оптика. Геометрия, как наука о свойствах пространства, связана с физикой, зависит от нее и может быть отделена от нее лишь в абстракции, в известных рамках.

Зависимость геометрии от физики, зависимость свойств пространства от материи была явно указана еще Лобачевским, который предвидел возможность изменения законов геометрии при переходе к новой области физических явлений. В противоположность этой материалистической точке зрения, известный математик Пуанкаре еще сравнительно недавно утверждал, будто выбор той или иной геометрии диктуется лишь соображениями простоты или «экономии мышления» в духе известного идеалиста Маха. На этом основании Пуанкаре предсказывал даже, что наука легче откажется от закона прямолинейного распространения света, чем от эвклидовой геометрии, поскольку она «самая простая». Однако Пуанкаре не дожил всего трех лет до окончательного построения общей теории относительности, в которой поступают как раз наоборот: отказываются от эвклидовой геометрии, но сохраняют закон распространения света, правда, в обобщенной форме: свет распространяется по геодезическим линиям. И это был не первый случай крушения махистских предсказаний. На пороге нашего столетия махисты и другие идеалисты близких толков утверждали, будто атомы являются лишь мысленными символами или чем-нибудь в этом роде, но никак не объективной реальностью. Между тем не прошло и нескольких лет, как реальность атомов была доказана самыми убедительными опытами. Несмотря на все это, идеалистическое понимание геометрии, как и других наук, еще сохраняется среди тех буржуазных ученых, для которых буржуазная идеология оказывается сильнее объективной истины..

Итак, мы приходим к следующим выводам. Одну и ту же выделенную совокупность фактов можно, вообще говоря, описывать по-разному, и все такие описания истинны, раз они отражают действительность. Однако геометрические факты во всей их общности никак нельзя рассматривать в отрыве от других явлений. Только так можно устанавливать свойства пространства, поскольку оно является универсальной формой существования материи. А беря геометрию в связи с физикой, мы необходимо должны приспосабливать их друг к другу, и тогда выявляется существенное различие между разными «геометриями», которые в отрыве от физики могут казаться отличающимися лишь большей или меньшей простотой. Эвклидова геометрия появилась не потому, что она проще других, а потому

что она соответствует механике. Теперь же именно в связи с развитием физики в теории относительности переходят к более сложной геометрии — римановой.

Словом, в отношении к свойствам реального пространства истинна та геометрия, которая достаточно точно отражает свойства пространственных отношений во всей их общности и которая, стало быть, отвечает не только чисто геометрическим фактам, но также механике и вообще всей физике.

5. То немногое, что было сказано выше о теории относительности, не касается, однако, главного в ее содержании. В понимании проблемы пространства она пошла существенно дальше, чем об этом думали Лобачевский и Риман.

Наиболее существенное и основное положение теории относительности состоит в том, что пространство неотделимо полностью от времени, и что они вместе образуют единую форму существования материи: четырехмерное многообразие пространства-времени. События в мире характеризуются местом и временем, а следовательно, четырьмя координатами: тремя пространственными и четвертой временной — временем события. События образуют в этом смысле четырехмерную совокупность. Эту то четырехмерную совокупность с точки зрения ее структуры, в отвлечении от свойств отдельных явлений и рассматривает прежде всего теория относительности. Она не является в своей основе и сущности ни теорией быстрых движений, ни космологией, ни новой теорией пространства или времени, — это именно теория пространства-времени как единой формы существования материи.

Конечно, и в ньютоновской механике можно объединить пространство и время в одно четырехмерное многообразие. Как мы уже имели случай упомянуть, сама идея многомерного пространства зародилась впервые у Лагранжа именно так, что, рассматривая движение материальной точки, он присоединял к пространственным координатам х, еще временную Движение точки изображается тогда линией в четырехмерном пространстве с координатами при движении точки меняются все четыре координаты: положение и время Однако тут объединение пространства и времени носит чисто формальный характер. Никакой внутренней необходимой связи между пространством и временем здесь не устанавливается. Конечно, в законе движения каждого данного тела есть своя зависимость пространственного положения от времени. Но это касается только каждого данного движения, никакой всеобщей внутренней связи между пространством и временем ни в механике, ни вообще в физике не было установлено до теории относительности. Всегда однозначно различались пространственные отношения, пространственный порядок вещей и явлений от их отношений и порядка во времени. Временная последовательность событий, продолжительность промежутков времени считались абсолютными, определенными безотносительно к чему

бы то ни было. Короче, в физике безраздельно господствовало понятие абсолютного времени.

Величайшим открытием Эйнштейна, составившим не только краеугольный камень теории относительности, но и поворотный пункт в общем физическом и философском понимании проблемы пространства и времени, было открытие того, что абсолютного времени в действительности нет. Вскоре после того, как Эйнштейн построил в 1905 г. свою теорию, Минковский показал, что суть ее состоит не столько в отказе от абсолютного времени, сколько в установлении взаимосвязи пространства к времени, в силу которой имеется единая абсолютная форма, существования материи: пространство-время. Отделение же пространства — пространственных координат — от времени, от временной координаты является в известной мере относительным, зависящим от той материальной системы, — «системы отсчета», в отношении которой определяется пространственный и временной порядок явлений. События, одновременные по отношению к одной системе, могут не быть таковыми в отношении к другой системе.

В определении порядка явлений, конечно, нет и не может быть полной зависимости от системы отсчета. Порядок событий, связанных прямым взаимодействием, само собой разумеется, остается в отношении всех систем одним и тем же, так что действие всегда предшествует его результату. Но для событий, не связанных взаимодействием, порядок во времени оказывается относительным. Поскольку пространственный порядок (в его чистом виде) относится к одновременным событиям, а одновременность относительна, выделение чисто пространственных отношений из общей совокупности пространственно-временных отношений оказывается относительным, зависящим от системы отсчета. Пространство в абстрактном смысле оказывается как бы «сечением» четырехмерного многообразия пространства-времени, проведенным через одновременные (в отношении данной системы) события.

В нашу задачу не может входить изложение основ теории относительности, мы постараемся лишь в самых кратких словах охарактеризовать ее основы в том виде, как их представляется наиболее естественным понимать в связи с идеями абстрактной геометрии. Это понимание, кстати сказать, существенно отлично от того, которое исходит от самого Эйнштейна.

Мир, вселенную можно рассматривать как множество разнообразных событий. Под событием понимается при этом не какое-либо явление, простирающееся в пространстве и длящееся во времени, но как бы мгновенно-точечное явление, наподобие мгновенной вспышки точечной лампы. Говоря языком геометрии, события — это точки четырехмерного многообразия вселенной.

Пространство-время есть форма существования материи, форма этого мирового многообразия. Структура пространства-времени, его «геометрия», есть не что иное как некоторая общая стуктура мира, т. е., согласно нашему рассмотрению, «геометрия» множества событий. Структура эта определяется некоторыми всеобщими материальными взаимосвязями и отношениями событий.

Во-первых, как мы уже разъясняли выше для пространственных отношений, это должны быть именно материальные отношения и взаимосвязи. То же верно для отношений явлений во времени. Пространственные и временные отношения сами по себе, в чистом виде, суть лишь абстракции.

Во-вторых, отношения событий, определяющие структуру пространства-времени, должны иметь всеобщий характер согласно универсальному характеру пространства-времени.

Такое всеобщее материальное отношение событий представляет их причинно-следственная связь. Всякое событие так или иначе, прямо или косвенно воздействует на некоторые другие события и в свою очередь испытывает воздействие других событий. Это отношение воздействия одних событий на другие и определяет структуру пространства-времени.

Таким Образом, теория относительности позволяет дать следующее определение. Пространство-время есть множество всех событий, отвлеченное от их конкретных свойств и отношений, кроме общего отношения воздействия одних событий на другие. Само это отношение так же следует понимать здесь в общем смысле, в отвлечении от его разнообразных конкретных форм.

В специальной теории относительности пространство-время считается максимально однородным. Это означает, что многообразие событий допускает преобразования, которые не нарушают отношения воздействия между событиями, и группа таких преобразований, в известном смысле, максимально возможная. Пусть, например, имеются две пары событий А, В и А, В, и как А не воздействует на В, так и В не воздействует на А, и аналогичное верно для А и В. Тогда существует такое соответствие между событиями, при котором А соответствует А, а В соответствует В, и при этом для любых пар событий отношение воздействия (или невоздействия) не нарушается, т. е. если X воздействует на то соответствующее событие также воздействует на и если X не воздействует на У, то и X не воздействует на У.

В соответствии с этим оказывается, что с точки зрения специальной теории относительности пространство-время есть своего рода четырех-мерпое пространство, геометрия которого определяется некоторой группой преобразований. Эти преобразования и есть не что иное как знаменитые преобразования Лоренца. Законы геометрии и физики не изменяются при этих преобразованиях. Такой взгляд соответствует взгляду на геометрию,

выдвинутому Клейном в его Эрлангенской программе, о которой говорилось в § 6.

6. Общая теория относительности идет дальше, она отказывается от-представления об однородности пространства-времени. Она считает, что пространство-время однородно лишь с известным приближением, в достаточно малых областях, но в целом неоднородно. Неоднородность, пространства-времени определяется согласно теории Эйнштейна распределением и движением материи. В свою очередь структура пространства-времени определяет законы движения тел, и это обнаруживается в явлении всемирного тяготения. Общая теория относительности оказывается, собственно, теорией тяготения, объясняющей тяготение связью стуктуры пространства-времени с движением материи.

Представление о пространстве-времени, однородном лишь с известным приближением в малых областях, аналогично представлению о римановом пространстве, которое является эвклидовым лишь «в бесконечно малом». Математически пространство-время в общей теории относительности и трактуется как своего рода риманово пространство, правда, в существенно измененном смысле.

Именно, в четырехмерном римановом пространстве вблизи каждой точки можно ввести координаты так, что квадрат линейного элемента выражается формулой

В пространстве-времени можно в окрестности каждого события ввести координаты так, что линейный элемент представляется формулой где с — скорость света, которую при соответствующем выборе единиц измеренияможно считать равной единице. Здесь х, у, z — пространственные координаты, время. Минус при дает формальное выражение существенного, коренного отличия временнбй координаты от пространственных, времени — от пространства.

В теории тяготения важнейшую роль играет понятие о кривизне пространства-времени. Основные уравнения этой теории, данные Эйнштейном, как раз связывают величины, характеризирующие кривизну пространства-времени, с величинами, характеризующими распределение и движение материи. Эти уравнения есть вместе с тем уравнения поля тяготения в из них же, как показали Эйнштейн с сотрудниками и В. А. Фок, выводятся законы движения тел в поле тяготения.

Структура пространства-времени по общей теории относительности оказывается сложной, и пространство нельзя отделить от времени даже в такой степени, как это допускает специальная теория относительности. Однако с известным приближением и при известных предположениях это можно сделать. Пространство оказывается эвклидовым с достаточной точностью в областях, малых в сравнении с космическими масштабами, но в больших областях обнаруживается отклонение от эвклидовой геометрии. Это отклонение зависит от распределения и движения масс

материи и достигает заметных, хотя все же очень малых, величин вблизи звезд большой массы, а также в целом в космических масштабах. В ряде гипотез о структуре вселенной в целом приближенно предполагают массы распределенными в среднем равномерно. В одной из таких гипотетических теорий, предложенных советским физиком и математиком Фридманом, геометрия пространства в целом совпадает с геометрией Лобачевского.

В теории относительности абстрактная геометрия находит свое применение не только как математический аппарат; самые идеи абстрактного пространства дают средство наиболее глубокой формулировки основ этой теории. Возможности, намеченные абстрактной геометрией, открываются в действительности, и теоретическое мышление празднует здесь свой блестящий триумф. Абстрактная геометрия, сама выросшая из опытного изучения пространственных отношений и форм тел, противостоит теперь изучению реального пространства как готовый математический метод. Таков общий путь науки: от непосредственно данного в опыте она поднимается к теоретическим обобщениям и абстракциям, которые опять обращаются к опыту, как инструмент более глубокого познания сущности явлений, давая объяснение известных и предсказание новых явлений, направляя практическую деятельность людей и находя в этом свое оправдание и источник дальнейшего развития.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление