Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа.

Определим теперь в множестве комплексных чисел две операции: сложение и умножение на действительные числа. Эти операции определяются «покоординатно», то есть формулами

Так как

то для чисел вида которые мы отождествили с действительными числами а, введенные операции совпадают с обычными операциями сложения и умножения действительных чисел.

Кроме того, легко проверить, что сложение комплексных чисел коммутативно и ассоциативно.

Введенное нами обозначение для комплексных чисел неудобно тем, что действительные числа приходится обозначать . Поэтому обычно пользуются иной записью этих чисел. Обозначим комплексное число через . Тогда по формулам (1) и (2) имеем:

Так как тождественно с обозначено то эту запись можно представить в виде:

В дальнейшем мы и будем обозначать комплексные числа в виде (мы не могли пользоваться этой записью с самого начала, так как не были определены действия сложения и умножения на действительное число, а потому запись не имела смысла).

Сложение комплексных чисел и умножение их на действительные числа записываются теперь следующим образом:

Кроме того, напомним, что равенство равносильно двум равенствам: .

Разностью комплексных чисел называют такое комплексное число и что . Из правила сложения комплексных чисел выводим, что

Это равенство равносильно двум равенствам:

из которых получаем:

Итак,

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление