Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра.

Из формулы (2), п. 4, вытекает, что если

то

Иными словами, при возведении комплексного числа z в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени:

Рис. 43

Вычислим, например, Для этого сначала найдем модуль и аргумент числа Мы имеем:

Отсюда , значит, тригонометрическая форма числа имеет вид:

Но тогда по формуле (1) имеем:

Разумеется, возведение в степень по формуле бинома Ньютона было бы здесь гораздо сложнее.

Отметим частный случай формулы (1), называемый формулой Муавра. Положим в равенстве Мы получим, что

Этой формулой можно пользоваться для выражения синусов и косинусов кратных углов через синусы и косинусы угла

Например, при получаем:

Но из равенства комплексных чисел вытекает равенство действительных и мнимых частей. Поэтому

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление