Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Подходящие дроби.

Как уже говорилось, цепные дроби служат для получения приближенных значений, имеющих малые знаменатели. Эти приближенные значения получаются так: число разлагают в цепную дробь и обрывают процесс разложения на некотором шагу, заменяя смешанную дробь ее целой частью. Получающиеся таким образом дроби называются подходящими дробями для данной цепной дроби. Иными словами, подходящими дробями для заданной цепной дроби

называются дроби

У цепной дроби с частными знаменателями имеется ровно подходящих дробей; последняя подходящая дробь равна данной цепной дроби.

Пример. Вычислим подходящие дроби цепной дроби [1, 2,

Чем больше номер подходящей дроби, тем утомительнее ее непосредственное обращение в обыкновенную дробь. При этом все предыдущие вычисления оказываются бесполезными для дальнейшего, все приходится выполнять вновь.

Естественно искать путь вычисления подходящих дробей данной цепной дроби, при котором использовались бы значения предыдущих дробей. Оказывается, для этого можно использовать так называемые рекуррентные соотношения между тремя последовательными подходящими дробями.

Вернемся к предыдущему примеру. Запишем подходящие дроби следующим образом:

Правило, по которому записаны третья и четвертая подходящие дроби, таково: в числителе записываются два слагаемых — числители двух предыдущих подходящих дробей, а в знаменателе — знаменатели предыдущих подходящих дробей, как показано ниже. И тут и там делается пропуск для множителя:

Оставленное место для множителя заполняется соответствующим частным знаменателем.

Докажем это правило в общем виде. Обозначим числитель и знаменатель подходящей дроби через . В этих обозначениях правило записывается так:

(здесь ).

Доказательство ведется с помощью математической индукции по индексу

Проверим сперва правило для первые три подходящие дроби имеют вид:

Отсюда следует, что

Таким образом, правило верно при

Допустим теперь, что правило верно для , то есть что

Докажем, что это же правило верно и при , а именно, что имеет место равенство:

Чтобы получить подходящую дробь, надо в подходящей дроби частный знаменатель заменить на выражение Сделаем эту замену и преобразуем числитель и знаменатель:

По предположению индукции имеем:

Поэтому

Итак, наша формула верна и при . Значит, она верна при всех Иными словами, мы доказали, что

где

Для того чтобы формулы (3) и (4) не теряли смысла при вводят определения которые носят чисто формальный характер, но делают правила верными и при

Покажем, как проводится вычисление, на примере цепной дроби Вычисление удобно располагать в табличку, которую заполняют последовательно. Первые два столбика заполняют компонентами первых двух подходящих дробей (нулевой и первой подходящей дроби), которые вычисляются непосредственно; третий столбик заполняется компонентами второй подходящей дроби, которые находятся по правилу: числитель первой подходящей дроби умножается на второй частный знаменатель, к полученному произведению прибавляется числитель нулевой подходящей дроби: так же находится и знаменатель второй подходящей дроби. Точно так же определяются числители и знаменатели последующих подходящих дробей. Вот последовательные шаги заполнения таблички:

Значит,

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление