Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Цепные дроби как вычислительный инструмент.

Рассмотрим некоторые примеры приближения иррациональных чисел подходящими дробями.

Начнем с числа . Разлагая число в цепную дробь, получаем: Найдем подходящие дроби для этой цепной дроби:

а затем составим таблицу для вычисления последующих дробей с помощью рекуррентного правила:

Получаем подходящие дроби Приближение , равное было известно еще Архимеду, а приближением — пользовался Андриан Меций еще в конце XVI столетия. Первое приближение очень удобно тем, что знаменатель 7 очень невелик.

Во второй дроби при сравнительно небольшом знаменателе

113 получается приближенное значение с высокой точностью.

Чтобы оценить эту точность, используем формулу

В нашем случае

Значит,

то есть точность полученного ответа превышает Обращая дробь в десятичную, получаем:

С помощью цепных дробей можно выполнять вычисление логарифмов при любом основании. Вычислим, например, Полученный результат будем сравнивать со значением взятым из таблицы Брадиса:

Обозначим искомое число через . Значит,

Ясно, что поэтому

и

откуда

Последнее равенство возведем в степень :

Значит,

Подставим значение в равенство (2):

Отсюда и потому . Но тогда

Получаем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление