Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Многочлены.

Пусть целая рациональная функция. Как уже говорилось, ее выражение через х может иметь различный внешний вид. Например, выражения

тождественно равны друг другу и потому задают одну и ту же функцию. Поэтому возникает задача — представить данную целую рациональную функцию в «стандартном», «каноническом» виде. Мы будем считать запись целой рациональной функции канонической, если она не содержит скобок и подобных членов, а слагаемые в ней расположены в порядке убывания показателей степеней х (для рассмотренного выше примера такой записью является ).

Приведение к канонической форме делается так. Раскрывают все скобки с помощью дистрибутивного закона После раскрытия скобок заменяют все произведения степеней переменного по правилам приводят подобные члены и располагают члены в порядке убывания показателей степени. В результате получается выражение вида

где Такое выражение называют многочленом от — степенью этого многочлена. Числа называют коэффициентами многочлена . В частности, называют коэффициентом при старшем члене, — свободным членом. Если многочлен называют приведенным. Например, приведенный многочлен пятой степени от х со свободным членом —6.

Числа с мы будем рассматривать как многочлены нулевой степени. Многочлен же, все коэффициенты которого равны нулю (нулевой многочлен), степени не имеет.

Приведение данного целого рационального выражения к каноническому виду можно выполнить различными путями. Например, в выражении

можно сначала перемножить на а можно сначала перемножить на . Поэтому возникает следующий вопрос: могут ли два различных многочлена тождественно равняться одному и тому же целому рациональному выражению?

Мы покажем ниже, что ответ на этот вопрос отрицателен: если два многочлена тождественно равны, то они имеют одинаковые степени, а коэффициенты при одинаковых степенях х в обоих многочленах совпадают. Поэтому, чтобы убедиться в тождественном равенстве двух целых рациональных выражений, надо привести их к каноническому виду (т. е. к виду многочленов) и проверить, что получившиеся многочлены совпадают.

Пример. Доказать тождество

Имеем:

и

Так как получились одинаковые многочлены, то заданные целые рациональные выражения равны.

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление