Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Бином Ньютона.

При преобразовании целых рациональных выражений в многочлены часто приходится разлагать выражения вида Выведем формулу для этого разложения. Случаи известны из куоса начальной алгебры:

В разложение входят члены, содержащие а в разложение члены, содержащие

Естественно предположить, что в разложение должны войти члены, содержащие

При этом старший член разложения должен равняться а свободный член равен Докажем это предположение с помощью индукции по Предположим, что уже доказана формула

где через обозначен коэффициент при в разложении выражения Умножим обе части разложения (1) на :

Посмотрим, какой коэффициент при получится после раскрытия скобок. Ясно, что члены с встретятся дважды: при умножении на х и при умножении на а. Значит, коэффициент при равен При этом коэффициент при равен 1, а свободный член равен Итак, мы доказали, что

где

Итак, если разложение (1) справедливо для , то оно справедливо и для . Так как оно имеет место при , то оно выполняется и при а тогда и Значит, оно верно для всех

Разложение (1) называют битном Ньютона. Коэффициенты С называются биномиальными коэффициентами. Мы получили для них соотношение (2).

Так как первый и последний коэффициенты разложения (1) равны 1, то полагают по определению

С помощью соотношения (2) можно вычислить все биномиальные коэффициенты зная коэффициенты

Именно

Заметим, что при вычислении мы берем в формуле (2) лишь одно слагаемое.

Найдя мы вычисляем

Такое вычисление удобно располагать в виде следующей таблицы:

Здесь каждое число в следующей строке является суммой двух стоящих над ним чисел предыдущей строки (если с какой-нибудь стороны числа нет, соответствующее слагаемое полагают равным нулю). Этот числовой треугольник называют треугольником Паскаля. С помощью треугольника Паскаля можно вычислять биномиальные коэффициенты для любого

Явное выражение для любого биномиального коэффициента имеет следующий вид:

где — произведение всех натуральных чисел от 1 до (например, Принято считать, кроме того, что . В главе IX равенство (3) будет выведено с помощью методов комбинаторики.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление