Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Интерполяционные формулы.

Мы доказали, что многочлен степени однозначно определяется своими значениями в

точке. Иными словами, если взять любые точку и любые значения то существует не более одного многочлена такого, что Естественно возникает вопрос, а существует ли хоть один такой многочлен? Покажем, что такой многочлен всегда существует.

Именно, рассмотрим выражение

Здесь в числитель дроби с коэффициентом входят все множители кроме Знаменатель получается из числителя заменой х на

Так как каждый числитель в формуле (1) является произведением линейных сомножителей, степень многочлена, тождественно равного (я), не больше, чем (она может оказаться меньше, чем если после раскрытия скобок и приведения подобных членов коэффициент при обратится в нуль).

Покажем, что этот многочлен принимает нужные значения в точках . В самом деле, пусть . Так как множитель входит в числители всех слагаемых, кроме слагаемого с коэффициентом то все эти слагаемые обратятся в нуль. В слагаемом же с коэффициентом числитель дроби совпадет при со знаменателем, и потому дробь равна 1, а само слагаемое равно Тем самым доказано, что

Формула (1) называется интерполяционной формулой Лагранжа. Существуют другие формы записи интерполяционной формулы. Однако надо иметь в виду, что любая запись интерполяционной формулы приводит к тому же многочлену, что и формула Лагранжа. Ведь мы знаем, что многочлен степени однозначно определяется своими значениями в точках

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление