Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Метод разложения на множители.

Рассмотрим некоторые методы решения алгебраических уравнений, а также отдельные виды таких уравнений.

Выше было сказано, что при решении уравнения его заменяют другими уравнениями или совокупностями уравнений, равносильными заданному, но более простыми.

Рассмотрим следующий пример. Пусть надо решить уравнение:

Мы знаем, что произведение может равняться нулю тогда и только тогда, когда хоть один из его сомножителей равен нулю. Поэтому, чтобы решить уравнение (1), надо найти все значения, при которых хоть один из сомножителей равен нулю. А это все равно, что решить совокупность уравнений

Решая ее, находим для значения . Они и дают корни уравнения (1).

Метод, примененный для решения уравнения (1), в общем виде формулируется так.

Теорема 5. Если функции определены на некотором множестве то на этом множестве уравнение

равносильно совокупности уравнений

Доказательство. Пусть а — одно из решений совокупности (3). Это означает, что а является корнем одного из уравнений этой совокупности, например, уравнения а все остальные функции определены при Но тогда

так как один из сомножителей равен нулю. Следовательно, любое решение совокупности (3) является корнем уравнения (2).

Наоборот, пусть а — корень уравнения (2). Тогда то есть произведение равно нулю лишь в случае, когда хоть один из сомножителей равен нулю. Поэтому хотя бы одно из чисел равно нулю. Это означает, что а является корнем хотя бы одного из уравнений то есть одним из решений совокупности уравнений (3).

Пример. Решить уравнение

Левая часть этого уравнения разлагается на множители следующим образом:

Отсюда следует, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений:

Решая уравнения этой совокупности, получаем корни уравнения (4):

Уравнение

и совокупность

не равносильны, так как при функция не определена. На множестве же они равносильны.

В некоторых случаях разложение на множители связано с искусственными преобразованиями. Рассмотрим, например, уравнение:

Нетрудно заметить, что

Поэтому уравнение можно записать в виде:

Таким образом, все свелось к решению совокупности двух квадратных уравнений:

Решая их, находим корни уравнения (6):

Упражнение 8. Найти область допустимых значений и решить следующие уравнения:

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление