Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Равносильные неравенства.

Введем следующее определение. Определение 1. Два неравенства

и

называются равносильными, если каждое число, удовлетворяющее неравенству (1), удовлетворяет и неравенству (2), а каждое число, удовлетворяющее (2), удовлетворяет и (1) (в частности, если множества решений обоих неравенств пусты).

Иными словами, два неравенства равносильны, если каждое из них является следствием другого.

Для установления равносильности двух неравенств применяются следующие теоремы.

Теорема 9. Пусть функция определена при всех допустимых значениях х. Тогда неравенства

и

равносильны.

Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что из следует

а из (5) следует .

Из теоремы 1 вытекает следующее правило переноса членов в неравенствах:

Неравенства

и

равносильны.

В самом деле, (6) получается из (7) прибавлением к обеим частям функции

Из этого следствия вытекает, что любое неравенство равносильно неравенству вида

Точно так же доказывается следующая Теорема 10. Неравенства

и

равносильны. Равносильны и неравенства

и

Наконец, докажем следующую теорему.

Теорема 11. Пусть функция определена при всех допустимых значениях х и положительна. Тогда неравенства

и

равносильны.

Доказательство. Пусть а — число, удовлетворяющее неравенству (12): . Умножим обе части этого неравенства на . Так как , то знак неравенства не изменится. Мы получим

Это показывает, что а удовлетворяет неравенству (13), а потому (13) является следствием (12). Точно так же доказывается, что (12) является следствием (13). Для этого достаточно умножить обе части неравенства (13) на положительное число

Если же функция определена для всех допустимых значений х и отрицательна, то неравенство равносильно неравенству

В общем случае приходится разбивать множество допустимых значений на три подмножества: точек х, где точек х, где и точек х, где

Мы доказывали теоремы о равносильности для неравенства с одним переменным. Эти теоремы остаются верными и для неравенств с несколькими переменными.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление