Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Линейные неравенства.

Перейдем теперь к методам решения неравенств. Начнем с простейшего случая — линейного неравенства с одним неизвестным. Такое неравенство имеет вид или

Если то неравенство принимает вид . В случае, когда — положительное число, это неравенство справедливо для всех значений а в случае, когда — отрицательное число, оно не имеет места ни при одном значении х.

Рассмотрим более интересный случай, когда Не теряя общности, можно считать, что . Если , то обе части неравенства умножим изменив знак неравенства на противоположный (например, неравенство можно заменить равносильным неравенством ).

Прибавим к обеим частям неравенства число Мы получим равносильное неравенство Далее, разделив обе части неравенства на а, получим неравенство (напомним, что мы условились считать а положительным числом).

Рис. 9

Итак, неравенство , где а — положительное число, равносильно неравенству Точно так же неравенство равносильно неравенству

Полученный результат допускает простое геометрическое истолкование.

Рассмотрим функцию Ее графиком является прямая линия, образующая острый угол с осью и пересекающая эту ось в точке (см. рис. 9).

Ясно, что слева от точки функция отрицательна, а справа от этой точки — положительна.

К неравенствам рассмотренного вида сводится решение более общих неравенств

В самом деле, неравенство (1) равносильно

К решению линейных неравенств сводится решение систем и совокупностей линейных неравенств. Чтобы найти решение систем линейных неравенств, надо решить каждое из них, а потом взять пересечение получившихся множеств. При решении совокупности линейных неравенств надо решить каждое из них и взять сумму получившихся множеств.

Пример 1. Решить систему неравенств:

Решением первого из них является второго , а третьего . Ясно, что пересечением этих трех множеств является промежуток

Пример 2. Решить совокупность систем неравенств:

Сначала решим систему неравенств:

Так же, как и в примере 1, получаем промежуток . Точно так же решением системы неравенств:

является промежуток Решение совокупности (4) получается объединением этих промежутков. В результате получаем промежуток

Упражнение 18. Решить следующие системы неравенств и совокупности систем:

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление