Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Корни. Степени с рациональными показателями

1. Понятие корня.

Пусть а — положительное число и — натуральное число. Можно доказать, что существует одно и только одно положительное число такое, что Это число называют

вают арифметическим корнем степени из а и обозначают Итак, если а и b — положительные числа, то записи

и

обозначают одно и то же.

Число а называют подкоренным выражением, показателем корня. Принято при опускать показатель корня. Поэтому означает

Отметим, что наряду со словом «корень» употребляют слово «радикал». Мы будем применять этот термин в тех случаях, когда корень из числа можно спутать с корнем уравнения.

Введем понятие алгебраического корня. Говорят, что число является алгебраическим корнем степени из числа а, если . Таким образом, по сравнению с понятием арифметического корня здесь опускается требование положительности чисел а и Если — четное число и то существуют два алгебраических корня степени из а, а именно а (обозначение мы сохраняем здесь для арифметического корня). В самом деле,

Так как четная степень любого действительного числа неотрицательна, то из отрицательного числа нельзя извлечь действительного корня четной степени. Позже мы познакомимся с комплексными числами, введение которых позволяет определять корни четной степени и из отрицательных чисел.

Если — нечетное число, то из любого действительного числа а можно извлечь корень степени . Именно если то этим корнем является Если же , то этот корень имеет вид . В самом деле, и потому

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление