Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Степени с рациональными показателями.

В § 1 были определены степени с любыми целыми показателями. Обобщим далее понятие

нятие степени, введя степени с любыми рациональными показателями. Это обобщение тесно связано с понятием корня.

Пусть — рациональное число и а — положительное число.

Запишем число в виде дроби , где — целые числа. Не теряя общности, можно считать, что (например,

Нам надо определить выражение так, чтобы сохранились все свойства степеней. В частности, должно выполняться равенство:

Из него следует, что надо определить как корень степени из

Мы ограничиваемся при этом арифметическими значениями корней При получаем:

Например,

При мы не определяем смысл выражения а

Ясно, что при определении (3) для выражения выполняется соотношение (1).

В следующем пункте мы выведем свойства степеней с рациональными показателями. Нам понадобятся для этого следующие два утверждения.

а) Если а и — положительные числа, причем и если — натуральное число, то

Докажем это утверждение индукцией по . При оно имеет место. Пусть уже доказано, что . Умножая соответствующие части неравенств получаем, что . В силу принципа математической индукции неравенство верно для всех натуральных значений

Другое доказательство этого неравенства следует из тождества

(см. п. 5 § 1 гл. I). Если то обе скобки в правой части равенства положительны и потому

Из свойства а) непосредственно вытекает следующее утверждение:

б) Если а и — такие положительные числа, что для некоторого натурального числа имеем , то .

В самом деле, если бы мы имели, например, , то по свойству а) выполнялось бы неравенство вопреки предположению.

Каждое рациональное число можно различными способами записать в видедроби. Например, Определение степени с рациональным показателем на первый взгляд зависит от способа записи показателя в виде дроби. Покажем, что это не так, то есть что для любого натурального числа при выполняется равенство:

Для этого возведем обе части равенства (4) в степень . В силу свойства 5) степеней с натуральным показателем и равенства (1) имеем:

С другой стороны, по формуле (1),

Таким образом, степени обеих частей доказываемого равенства (4) совпадают. В силу утверждения б) отсюда вытекает справедливость равенства (4).

Можно доказать, что определение (2) согласуется с физическим смыслом степеней с показателем — (см. стр. 93).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление