Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю.

Так как , то из каждого свойства степеней с рациональными показателями вытекает соответствующее свойство корней.

Равенство (см. формулу (3), п. 2) переписывается так: при имеем

Таким образом, если подкоренное выражение является степенью положительного числа, причем показатель степени имеет общий делитель с показателем корня, то можно сократить эти показатели на общий делитель. Например,

Из равенства (1) вытекает, что любые два корня с натуральными показателями можно привести к общему показателю.

Именно пусть даны корни . Тогда по формуле (1) имеем (разумеется, в качестве общего показателя корней можно выбрать не а наименьшее общее кратное чисел

Упражнения

Отметим, что формула (1) справедлива лишь при условии . В случае, когда эта формула, вообще говоря, неверна. Например, рассмотрим Если то по формуле (1) получаем Пусть теперь Тогда — Поэтому при имеем:

Например,

Наконец, если , то Полученные значения для можно выразить одной формулой

В самом деле, как так и равны а при и равны при

Вообще, если общий делитель на который сокращают показатели корня и подкоренного выражения, четен и рассматриваются любые значения а, формулу (1) следует переписать так:

Пример. Вычислить

По формуле (2) получаем:

Значит, если , то , а если , то этот корень равен .

Упражнение 10. Упростить выражения:

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление