Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби.

Часто бывает нужно найти численное значение иррационального выражения при заданных значениях входящих в него букв. При этом бывает неудобно делить на иррациональные числа. В таких случаях стараются преобразовать заданное иррациональное выражение так, чтобы его знаменатель не содержал корней.

Посмотрим сначала, как выполняется это преобразование в случае, когда знаменатель дроби — корень из одночлена. Пусть дано иррациональное выражение . Если мы хотим освободиться от иррациональности в знаменателе этой дроби, то надо помножить и числитель, и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе извлекся корень. Ясно, что для этого надо умножить подкоренное выражение в знаменателе дроби на тогда оно станет равно и корень извлечется. Вспоминая правило умножения корней, видим, что числитель и знаменатель надо умножить на Тогда мы получим, что

Вообще, если дано выражение вида , причем все показатели меньше , то надо умножить числитель и знаменатель дроби на один и тот же множитель

Тогда при получим:

Этот ответ остается справедливым при нечетном для любых . Если же четно , то в общем случае в знаменателе надо писать

Теперь рассмотрим случай, когда знаменатель алгебраической дроби имеет вид , где А и В — положительные рациональные выражения. В этом случае надо умножить и числитель, и знаменатель на выражение (оно получается из знаменателя изменением знака при ). Так как , то при

Поскольку (А — В) — рациональное выражение, мы избавляемся от иррациональности в знаменателе дроби. (Точно так же избавляются от иррациональности в знаменателе, если он имеет вид ) Например,

Аналогично действуют в случае, когда знаменатель дроби имеет вид , где А и В — рациональные выражения. Уничтожение иррациональности в знаменателе основывается здесь на формуле

(см. стр. 32). Именно, положим и умножим числитель и знаменатель на одно и то же выражение

(где надо заменить а на на Тогда знаменатель примет вид:

то есть станет рациональным выражением. Случай, когда знаменатель равен разбирается точно так же. Здесь надо положить

Если знаменатель имеет вид или , то надо положить (соответственно ) и воспользоваться формулой

Если знаменатель имеет вид то корни и надо сначала привести к общему показателю. Например,

Случай, когда знаменатель является суммой трех или большего числа корней, сложнее. Однако можно показать, что какой бы сложный вид ни имел знаменатель, всегда можно освободиться от иррациональности в знаменателе. Общие методы таких преобразований изучаются в высшей алгебре.

В некоторых задачах, наоборот, бывает целесообразно уничтожить иррациональность в числителе алгебраической дроби, т. е. преобразовать дробь к такому виду, чтобы ее числитель содержал лишь рациональные выражения. Читателю должно быть ясно, что эта цель достигается теми же способами, как уже в разобранных выше примерах.

Упражнение 22. Уничтожить иррациональность в знаменателях дробей:

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление