Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным.

Для решения иррациональных уравнений стараются свести их к рациональным уравнениям. С этой целью обе части уравнения после соответствующих преобразований возводят в одну и ту же степень. Чтобы показать, что при этом не происходит потери корней, докажем следующую теорему.

Теорема. Если число а — корень уравнения , то это число удовлетворяет и уравнению

Доказательство. По условию имеет место равенство Возведем обе части этого равенства в степень. Равенство от этого не нарушится, и мы что Это показывает, что а — корень уравнения

Итак, при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень мы получаем уравнение, являющееся следствием исходного. Однако это уравнение при четных неравносильно исходному. Ведь если из равенства вытекает то обратное неверно. Именно следует лишь, что . Если при этом имеют одинаковые знаки, то . Если же они имеют различные знаки, то . Таким образом, корень уравнения может удовлетворять не только уравнению но и уравнению

Во втором случае он является посторонним для уравнения . Если же показатель нечетен, , то из следует, что . Поэтому уравнения равносильны.

Итак, если при решении уравнения нам пришлось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли получиться посторонние корни. Чтобы выяснить, какие из корней уравнения удовлетворяют исходному уравнению надо подставить их в исходное уравнение и посмотреть, удовлетворяют они уравнению или нет.

Примеры

1) Решить уравнение

Возводя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение:

Его корнем является . Но не удовлетворяет уравнению (1) — после подстановки получается неверное равенство. Следовательно, уравнение (1) решений не имеет.

2) Решить уравнение

Здесь после возведения в квадрат получаем уравнение:

Его корнем является Проверка показывает, удовлетворяет уравнению (2).

3) Решить уравнение

Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем квадратное уравнение Его корнями являются Проверка показывает, что только корень удовлетворяет заданному уравнению. Корень же удовлетворяет уравнению

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление