Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Уединение радикала.

Мы видели, что при решении иррациональных уравнений приходится возводить обе части уравнения в одну и ту же степень. При этом, разумеется, желательно, чтобы хоть одна из частей уравнения имела вид где — рациональное выражение. В этом случае после возведения обеих частей уравнения в степень мы получим в соответствующей части уравнения рациональное выражение. Поэтому при решении иррациональных уравнений обычно поступают так.

Выбирают один из радикалов, входящих в уравнение, оставляют его в одной стороне уравнения, а все остальные члены переносят в другую сторону. После этого возводят обе части получившегося уравнения в степень, показатель которой равен показателю уединенного радикала. Повторяя этот процесс, освобождаются от всех радикалов, входящих в уравнение, и получают рациональное уравнение. При этом, если при решении приходилось хоть раз возводить обе части равенства в степень с четным показателем,

полученные корни необходимо проверить. Проверка осуществляется путем подстановки корней в исходное уравнение.

Рассмотрим некоторые примеры.

1) Решить уравнение

Перенесем в правую часть уравнения и возведем обе части получившегося равенства в квадрат. Мы получим:

или

Отсюда находим . Снова возведем обе части уравнения в квадрат: Корнями этого уравнения являются

Проверим полученные корни. Подставляя корень в заданное уравнение, получаем или . Значит, этот корень удовлетворяет заданному уравнению. Корень также удовлетворяет этому уравнению.

2) Решить уравнение

Уединим радикал и возведем обе части уравнения в квадрат. Получим:

Корнями этого уравнения являются . Однако из этих корней заданному уравнению удовлетворяет лишь корень же является посторонним. Он удовлетворяет уравнению

Упражнение 38. Решить иррациональные уравнения:

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление