Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Равносильные системы уравнений.

Две системы уравнений

и

называются равносильными, если всякое решение первой системы является решением второй, а всякое решение второй системы является решением первой.

В частности, любые две несовместные системы уравнений равносильны.

Геометрически это означает следующее: линии пересекаются в тех же самых точках, что и кривые (см. рис. 12).

Процесс решения системы уравнений заключается в том, что ее последовательно заменяют равносильными ей системами уравнений (или совокупностями систем уравнений) до тех пор, пока не придут к совокупности вида:

Эта совокупность и дает решения заданной системы уравнений.

При решении систем уравнений чаще всего используются следующие теоремы о равносильности.

Теорема 1. Если в системе

заменить любое из уравнений равносильным ему уравнением, то получим систему, равносильную первоначальной.

Доказательство. Пусть равносильно уравнению Обозначим через А множество решений уравнения через А — множество решений уравнения а через В — множество решений уравнения . Тогда множеством решений системы (4) является пересечение , а множеством решений системы

является пересечение . Поскольку уравнения равносильны, то , а значит, и то есть системы (4) и (4) равносильны. Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает такое Следствие. Каждая система уравнений

равносильна некоторой системе уравнений вида

В самом деле, уравнение равносильно уравнению а уравнение — уравнению

Теорема 2. Если функции определены на некотором множестве М, то на этом множестве уравнение

равносильно совокупности уравнений

— решение уравнения (5), то имеет место равенство

Но произведение нескольких чисел может равняться нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из сомножителей. Поэтому для некоторого

одно из решений совокупности (6).

Обратно, если — одно из решений совокупности (6), то по крайней мере для одного к имеем , а тогда выполняется равенство (5), и потому — одно из решений уравнения (5).

Из теоремы 2 вытекает Следствие. Система уравнений

равносильна совокупности систем уравнений

Например, система уравнений

равносильна совокупности систем

Это следствие позволяет сводить системы к совокупностям более простых систем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление