Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений.

Покажем теперь, что любая обобщенно-треугольная система уравнений совместна, и выясним, когда она имеет единственное решение. Сначала разберем случай, когда ранг системы равен числу неизвестных Тогда система (4), п. 4, имеет вид:

то есть является треугольной. При этом Треугольная система уравнений решается очень просто.

Из последнего уравнения системы находим, что Подставим это значение в предпоследнее уравнение. Мы получим, что

и поэтому

После этого последовательно определяем и т. д. вплоть до которое находим из первого уравнения. Мы видим, что треугольная система имеет единственное решение. Следовательно, при заданная система уравнений имеет единственное решение. Пусть теперь . В этом случае обобщенно-треугольная система имеет вид:

Перенесем слагаемые, содержащие неизвестные в правую часть уравнений. Система примет вид:

Эта система имеет бесконечное множество решений. В самом деле, дадим неизвестным любые значения . Тогда мы получим для отыскания остальных неизвестных треугольную систему уравнений:

Решая ее, получим искомые значения для . Так как значения неизвестных произвольны, то число решений бесконечно.

Например, решим систему уравнений:

Она приводится к обобщенно-треугольной системе:

Значит, ее ранг равен двум. Перенося слагаемые, содержащие 3 и 4, в первую часть, получаем треугольную систему относительно 1 и 2:

Из этой системы находим:

Любое решение уравнения (5) получится, если придать некоторые значения неизвестным 3 и 4 и вычислить по формулам (6).

Подведем итоги исследования:

Всякая система линейных уравнений либо не имеет решений (несовместна), либо имеет единственное решение, либо бесконечное множество решений.

Первый случай будет, если при решении системы методом Гаусса мы придем к уравнению вида

где . Второй случай имеет место, если она совместна и ранг системы (число уравнений в обобщенно-треугольной форме) равен числу неизвестных. Третий случай имеет место, если система совместна и ее ранг меньше числа неизвестных.

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление