Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Системы однородных линейных уравнений.

Линейное уравнение, свободный член которого равен нулю, называется однородным. Оно имеет вид

Мы рассмотрим сейчас систему таких уравнений:

Система однородных линейных уравнений заведомо разрешима, поскольку ей удовлетворяет решение . Это решение мы будем называть нулевым. Однако чаще всего нас интересуют именно ненулевые решения системы однородных линейных уравнений.

Если ранг системы однородных линейных уравнений равен числу неизвестных, , то, как мы знаем, система имеет единственное решение. Так как одно решение, а именно нулевое, мы уже знаем, то ненулевых решений система не имеет. Если же ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Поэтому у нее, кроме нулевого

будут и ненулевые решения. Мы доказали, таким образом, следующую теорему.

Теорема. Для того чтобы система однородных линейных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг этой системы был меньше числа неизвестных

Так как ранг системы заведомо меньше числа уравнений исходной системы, то отсюда получаем

Следствие. Для того чтобы система однородных линейных уравнений с неизвестными имела ненулевое решение, достаточно, чтобы число уравнений было меньше числа неизвестных, .

Системы однородных линейных уравнений решаются методом Гаусса. Решим, например, систему уравнений:

Применяя метод Гаусса, приходим к системе уравнений:

Ее можно записать так:

Отсюда находим, что . При любом значении 3 получаем решение системы . Отметим, что полученное решение можно представить в следующем виде:

Упражнения

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление