Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.

Теорема 1, п. 7, является частным случаем следующего общего утверждения.

Теорема 9. Для любого симметрического многочлена существует такой (вообще говоря, несимметрический) многочлен что .

Доказательство. Пусть — симметрический многочлен. Возьмем какой-нибудь из его членов Если то этот член имеет вид и может быть записан так:

Если же , скажем , то наряду со слагаемым входит и симметрическое с ним слагаемое Но сумму можно записать так:

Мы уже умеем выражать через . Следовательно, и сумма выражается через . Так как это рассуждение применимо к любому слагаемому , то и весь многочлен можно выразить через и

Пример

Выразить через симметрический многочлен

Мы имеем:

Применяя формулу для получаем, что

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление