Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Неравенства с многими переменными

В параграфе 3 главы II мы рассмотрели задачи на доказатель ство и решение неравенств, содержащих одно неизвестное. В случае многих неизвестных задачи становятся значительно сложнее. Некоторые из них будут рассмотрены здесь. Неравенства, которые

будут установлены в этом параграфе, играют важную роль в самых различных вопросах математики. В частности, мы покажем ниже, как с помощью этих неравенств решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений.

1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел.

Возьмем два числа 2 и 8. Среднее арифметическое этих чисел равно а среднее геометрическое . Мы видим, что для этих чисел среднее геометрическое меньше среднего арифметического. То же самое получится, если взять числа 1 и 9: их среднее арифметическое равно 4, 5, а среднее геометрическое равно 3. Для чисел 1 и 2 среднее арифметическое равно 1,5, а среднее геометрическое равно Во всех разобранных примерах подмеченная нами закономерность имеет место. Это дает основание предположить, что вообще для любых двух неотрицательных чисел х и у их среднее геометрическое не больше среднего арифметического есть что

Мы докажем сейчас это утверждение. Так как числа х и у по условию неотрицательны, то мы можем положить где . Тогда неравенство (1) примет вид:

или, что то же самое, Но это неравенство очевидно, поскольку равносильно заведомо верному неравенству

Итак, неравенство (1) доказано. Отметим, что оно верно лишь при условии если числа х и у имеют различные знаки, то левая часть неравенства не имеет смысла; если же х и у отрицательны, то , а потому неравенство (1) не имеет места.

Отметим еще, что тогда и только тогда, когда

Отсюда сразу следует, что тогда и только тогда, когда .

Рис. 22

Мы доказали неравенство (1) чисто алгебраически. Но его можно доказать и геометрически. Для этого отложим отрезки х и у и примем сумму этих отрезков за диаметр полуокружности (см. рис. 22). Тогда среднее геометрическое отрезков х и у равно отрезку , а их среднее арифметическое — радиусу окружности. Ясно, что не превосходит причем тогда и только тогда, когда

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление