Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Неравенство Коши (двумерный вариант).

Выведем теперь новое неравенство. Для этого рассмотрим произведение и раскроем в нем скобки. Мы получим многочлен который совпадает с многочленом, получающимся после раскрытия скобок в выражении

Таким образом, справедливо тождество

Так как , то из этого тождества следует неравенство

справедливое для любых действительных чисел . Это неравенство, а особенно его обобщения, имеет большое значение для многих вопросов математического анализа. Оно называется неравенством Коши или, точнее, двумерным случаем неравенства Коши.

Из соотношения (1) вытекает, что знак равенства имеет место в (2) тогда и только тогда, когда . Мы будем называть в этом случае числа пропорциональными. Это связано с тем, что если то соотношение можно записать так:

Приведенный выше вывод неравенства (2) кажется на первый взгляд очень вычурным и искусственным. В отличие от неравенства основанного на простом и очевидном тождестве неравенство (2) основано на далеко не очевидном с первого взгляда тождестве (1). Естественно поэтому желание найти другой подход к этому неравенству, при котором оно стало бы очевидным. Американские математики Э. Беккенбах и Р. Беллман пишут по этому поводу следующее (см. их книгу «Введение в неравенства». 1965): «Нерушимым принципом математики является то, что в ней нет случайных фактов и положений. Каждый результат, какое бы место он не занимал, находит свое истолкование, благодаря которому этот результат становится прозрачным, само собой разумеющимся. Это истолкование может не сразу броситься в глаза, и оно может быть найдено не сразу. Часто подлинный смысл математической теоремы проясняется только тогда, когда мы посмотрим на нее, так сказать, «сверху», то есть с точки зрения более общей теории. Однако истолкование, поясняющее смысл теоремы, имеется всегда — и это исключительно важно. Если бы дело обстояло не так, то математика выродилась бы в набор несвязных формальных трюков и схоластических выкрутасов».

Часто наиболее простое истолкование алгебраического результата имеет геометрический характер. Формулы, которые кажутся совершенно непонятными и сложными, становятся очевидными, когда раскрывается их геометрическое содержание.

Рис. 23

Не составляет исключение и неравенство (2). Пусть числа неотрицательны. Возьмем треугольник, изображенный на рис. 23. С помощью теоремы Пифагора легко подсчитать, что длины отрезков определяются равенствами

и

Но длина стороны не превосходит суммы длин двух других сторон. Поэтому имеем . Подставляя в это неравенство выражения для длин отрезков получаем, что

Возведем обе части этого неравенства в квадрат. Так как обе части неравенства (3) положительны, то после этого получим равносильное неравенство:

Раскроем скобки в левой части и приведем подобные члены. Мы получаем:

Еще раз возведя обе части неравенства в квадрат, приходим к неравенству Коши:

Тем самым неравенство Коши доказано при неотрицательных значениях

Чтобы доказать его для любых значений достаточно заметить, что и потому

Но по доказанному

Из неравенств (4) и (5) вытекает:

Итак, мы доказали, что неравенство Коши вытекает из элементарной теоремы геометрии: длина стороны треугольника не больше суммы длин двух других сторон. Нетрудно показать, что эти два утверждения эквивалентны друг другу — из неравенства Коши следует неравенство (3).

Неравенство (2) является частным случаем более общего неравенства

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление