Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Неравенства с двумя переменными.

Рассмотрим теперь неравенства с двумя переменными. Все такие неравенства равносильны неравенствам вида

Например, неравенство

равносильно неравенству

Чаще всего встречается случай, когда уравнение задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство , а в других — неравенство . Иными словами, линия отделяет часть плоскости, где , от части плоскости, где

Рассмотрим, например, неравенство

Уравнение задает прямую линию (см. рис. 28). Эта прямая разбивает всю плоскость на

Рис. 28

две полуплоскости. Ясно, что при уменьшении у величина уменьшается. Поэтому ниже прямой располагаются точки, в которых , а выше этой прямой точки, где

Совершенно так же решается общее линейное неравенство

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если , то при увеличении у величина увеличивается, а при уменьшении у — уменьшается. Поэтому при выше прямой лежат точки, где , а ниже этой прямой — точки, где . В случае роли полуплоскостей меняются.

На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем а в какой применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение . Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными. Например, решим неравенство:

Уравнение

можно записать в виде

Это уравнение окружности с центром в точке А (2, —3) и радиусом 5 (рис. 29).

Окружность (3) разбивает плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области. Чтобы узнать, в какой из них имеет место неравенство (2), возьмем контрольную точку во внутренней области. В качестве такой точки удобно взять центр нашей

Рис. 29.

окружности. Подставляя координаты точки в левую часть неравенства (2), получаем отрицательное число —25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство

Отсюда вытекает, что неравенство (2) имеет место во внешней для окружности области (3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление