Главная > Математика > Математический анализ. (Виленкин)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Задание областей неравенствами и системами неравенств.

Разобранные примеры показывают, что области на плоскости можно задавать неравенствами. Иногда вместо одного неравенства приходится брать системы или совокупности неравенств.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пусть задана система неравенств:

Мы уже знаем, что неравенство задает полуплоскость, лежащую над прямой Неравенство же

Рис. 30

Рис. 31

задает область, ограниченную окружностью Множеством решений системы неравенств (1) является пересечение этих двух областей, изображенное на рис. 30, то есть круговой сегмент.

Далее, рассмотрим систему неравенств:

Множеством решений этой системы является параллелограмм, изображенный на рис. 31.

Во многих случаях удобнее всего задавать области системой неравенств вида:

Рис. 32

Эта система указывает границы изменения х, а для каждого х, лежащего между а и — границы изменения у (см. рис. 32). Иногда приходится предварительно разбивать область на части и каждую часть задавать системой вида или, что то же самое, задавать область совокупностью систем (3).

Пример. Пусть область задана системой неравенств:

Эту систему неравенств можно переписать в виде:

Множеством ее решений является область, изображенная на рис. 33 и ограниченная прямой и параболой Найдем точки пересечения прямой и параболы. Для этого надо решить систему уравнений:

Система приводит к уравнению корнями которого являются . Поэтому точки пересечения прямой и параболы имеют координаты:

Отсюда следует, что рассматриваемая область задается неравенствами;

Задача. Расстояние между двумя небесными телами А и равно а, а масса первого больше массы второго раз.

Рис. 33 (см. скан)

Найти область, в которой сила притяжения ко второму телу больше, чем к первому.

Решение. Проведем плоскость через прямую и выберем на этой плоскости систему координат следующим образом. В качестве начала координат выберем точку А, а ось абсцисс проведем через точку В. Координаты точки В имеют вид Выберем любую точку плоскости Расстояние этой точки до А равно

а до В равно

По закону всемирного тяготения сила притяжения между телами с массами равна , где гравитационная постоянная, расстояние между этими телами. Поэтому если в точке находится тело с массой то оно притягивается к первому небесному телу с силой

а ко второму — с силой

По условию задачи нам надо найти точки, в которых выполняется неравенство то есть

Учитывая, что по условию получаем равносильное неравенство

Раскрывая скобки и преобразуя полученное выражение, получаем:

или

Выделяя полный квадрат, перепишем это неравенство в виде

Уравнение

является уравнением окружности с центром в точке и радиусом Внутри этой окружности притяжение ко второму телу больше, чем к первому. Чтобы получить область в пространстве, внутри которой притяжение ко второму телу больше, чем к первому, надо повернуть эту окружность вокруг прямой . Мы получим сферу, ограничивающую область с искомым свойством.

В решенном примере мы получили неравенство определяющее искомую область на плоскости.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление