Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений

  

Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, изд. 3-е, переработанное и дополненное. Мн., «Наука и техника», 1979, 744 с.

В монографии рассматриваются вопросы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и вообще анализ и классификация решений дифференциальных уравнений. Здесь читатель найдет и новые методы исследования, и новые задачи, не встречающиеся в литературе.

В третьем издании расширена и использована при исследовании качественных вопросов глава «Теория подвижных особых точек в вещественной области», новая по методам и результатам и имеющая как теоретическое, так и прикладное значение. Шире рассматриваются в новом издании и вопросы качественной теории и методы обнаружения и построения периодических решений в области центра и изолированных периодических решений. Добавлена и новая XIV глава «Фрагменты из элементарной конструктивной теории периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений».

Книга рассчитана на математиков, физиков и инженеров-теоретиков. Она будет полезна и студентам старших курсов механико-математических и физических факультетов.



Оглавление

ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ
ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
§ 2. Общее, частное и особое решения
§ 3. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
§ 4. Однородные уравнения
§ 5. Уравнения, приводящиеся к однородному
§ 6. Линейное уравнение
§ 7. Уравнение Риккати
§ 8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
§ 9. Интегрирующий множитель
§ 10. Строгое определение общего решения
§ 11. Особое решение
§ 12. Интеграл
§ 13. Уравнения, не разрешенные относительно у'
§ 14. Решение в параметрическом виде
§ 15. Частные случаи дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно у'
§ 16. Расположение интегральных кривых в окрестности границы области D(x, у)
ГЛАВА II. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Интегралы системы
§ 3. Уравнение n-го порядка
§ 4. Приведение уравнения n-го порядка к системе n уравнений первого порядка и наоборот
§ 5. Частные случаи уравнения n-го порядка
ГЛАВА III. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
§ 2. Теорема Коши
§ 3. Линейные системы
§ 4. Теорема Пикара
§ 5. Частные случаи теоремы Пикара
§ 6. Область существования решения
§ 7. Непрерывная зависимость решений от параметров
§ 8. Дифференцируемость по параметру
§ 9. Теоремы о существовании решений в максимальной области, зависящей от параметра
§ 10. Построение решений во всей области существования
§ 11. Существование общего решения
§ 12. Устойчивость по Ляпунову. Еще об общем решении
§ 13. Существование дифференцируемых полных интегралов
ГЛАВА IV. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ n-го ПОРЯДКА
§ 2. Однородное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами
§ 3. Примеры
ГЛАВА V. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Неоднородная система
§ 3. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами
§ 4. О матрицах
§ 5. Общее исследование системы (3.1)
§ 6. Матричный метод
§ 7. Теорема о преобразовании системы (6.1) в каноническую вещественную систему
§ 8. Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами
ГЛАВА VI. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 1. Устойчивость по Ляпунову
§ 2. Теорема Ляпунова
§ 3. Устойчивость решений линейных систем
§ 4. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами
§ 5. Второй метод Ляпунова
ГЛАВА VII. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных
§ 2. Построение решения задачи Коши
§ 3. Решение задачи Коши для однородного уравнения с n независимыми переменными
§ 4. Неоднородное уравнение
§ 5. Задача Коши для неоднородного уравнения
§ 6. Общая задача Коши для неоднородного уравнения
ГЛАВА VIII. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И МЕТОД ОСОБЫХ РЕШЕНИЙ
§ 2. Признаки интегрируемости уравнения (1.1) в замкнутой форме
§ 3. Метод последовательных преобразований
§ 4. Эвристический метод преобразований
§ 5. Осуществимость преобразований
§ 6. Метод преобразований в системах
ГЛАВА IX. РЕШЕНИЯ С ОСОБЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ. УРАВНЕНИЕ у'=Р(х, y)/Q(x, у)
§ 1. Уравнение y' = P(x,y)/Q(x,y)
§ 2. Уравнение Брио и Буке
§ 3. Теорема Пуанкаре
ГЛАВА X. СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПОЛНОГО И УКОРОЧЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Случай, когда y(t) и z(t) — решения дифференциальных уравнений
§ 3. Представление решений полного уравнения через измененное укороченное
§ 4. Общий метод доказательства существования разложения (1.1)
§ 5. Продолжение § 4
ГЛАВА XI. РАЗНОТЕМНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
§ 1. О стационарных интегралах
§ 2. Интегралы системы (1.1), не зависящие от t
§ 3. Построение систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую
§ 4. О периодических решениях
§ 5. Гамильтоновы системы двух уравнений
§ 6. Система Гамильтона, варьированная относительно системы (5.22)
§ 7. Задачи Пуанкаре о периодических решениях
§ 8. Метод неподвижных точек
§ 9. Принцип кольца
§ 10. Предельные циклы и построение решений вблизи предельных циклов
§ 11. Уравнение Риккати
ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
§ 2. Замечания о преобразованиях рядов
§ 3. Система ...
§ 4. Нелинейные уравнения
§ 5. Уравнение ...
§ 6. Уравнения с малым параметром при старшей производной
§ 7. Примеры тихоновских систем
ГЛАВА XIII. ТЕОРИЯ ПОДВИЖНЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК В ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОБЛАСТИ
§ 1. Системы, решения которых существуют в области ...
§ 2. Поведение решений при t->оо
§ 3. О решениях систем двух дифференциальных уравнений типа Брио и Буке
§ 4. Особые случаи системы (3.1)
§ 5. Подвижные особые точки решений системы двух уравнений
§ 6. Случай ...
§ 7. Построение решений (5.10)
§ 8. Случай ...
§ 10. Заключительный
ГЛАВА XIV. ФРАГМЕНТЫ ИЗ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ КОНСТРУКТИВНОЙ ТЕОРИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Периодические решения вокруг центра (Ляпунов)
§ 2. Замечания
§ 3. Периодические решения вокруг центра (Пуанкаре)
§ 4. Доказательство существования и построение предельных циклов по методу Каменкова
§ 5. Существование и построение изолированных периодических решений уравнения ...
§ 6. Уравнение Ван дер Поля. Качественная теория
§ 7. Конструктивное доказательство существования периодического решения системы (6.1) методом Каменкова (т. е. на основании § 4)
§ 8. Уравнение. Построение предельного цикла
ЛИТЕРАТУРА