Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Заключительный

Мы рассмотрели некоторые виды неподвижных и подвижных особых точек систем двух дифференциальных уравнений.

Заметим теперь, что теория особых точек и изучение поведения решения в окрестности особых точек позволяют иногда решить важную задачу представления решений во всей области существования. Мы видели, что решения уравнения Риккати имеют подвижные особые точки. Но можно решение уравнения Риккати представить и во всей области его существования.

В § 11 главы XI мы показали, что решение уравнения

можно представить в виде

где Р и Q — решение линейной системы

И так как решение этой системы Р и как мы видели в главе III, легко строится во всей области непрерывности коэффициентов то и решение уравнения Риккати получаем во всей области непрерывности коэффициентов Иногда и решения системы двух уравнений или решения одного уравнения второго порядка возможно получить в виде (10.1), где представимы, например, в виде рядов по положительным степеням независимой переменной х, сходящихся при всех конечных значениях х (но, вообще говоря, Р и Q здесь не являются решением линейной системы). Например, решение уравнения (Пенлеве)

представляется в виде

а именно в виде

где решение уравнения порядка

и представимо в виде ряда по положительным степеням сходящегося при всех конечных

Решение уравнения (10.3) можно искать с одним из начальных условий

Соответствующие начальные значения решения уравнения (10.6) легко найти [VII].

Как мы отметили, такое же представление (10.4) решения уравнения (2-е уравнение Пенлеве)

построил А. И. Яблонский [VIII].

Для других уравнений второго порядка это сделал Н. А. Лукашевич [X]. Для систем уравнений это сделали А. И. Яблонский и Н. А. Лукашевич [VIII, X]. В их работах в некоторых случаях находятся и такие решения вида (10.1) для уравнений второго порядка, где Р и Q — полиномы. Например, как мы уже отметили, А. И. Яблонский и А. П. Воробьев показали, что при любом целом а уравнение (10.7) имеет и притом только одно такое решение. Они построили и способы нахождения этих решений

Можно еще рассматривать такую задачу. Дано уравнение второго порядка

Можно ли указать случаи, когда решением этого уравнения будут решения некоторого уравнения первого порядка определенного класса

Например, для частного вида уравнения (10.7)

или

соответственно все решения элементарных уравнений

или

являются решениями уравнений (10.8) и (10.9). Аналогичные результаты получены для других уравнений.

Отметим, однако, что возможность представления решений в виде (10.1), где Р и Q представимы во всей области существования как указано выше, мы, вообще говоря, получаем на основе аналитической теории дифференциальных уравнений, опирающейся на теорию функций комплексного переменного, чего мы здесь не можем касаться.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление