Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Замечания

Рассмотрим систему [XIV]

которая при переходит в систему

Точка (0, 0) для системы (2.1) при будет центром [XIV] в том и только в том случае, когда выполнено одно из трех условий:

где Если все коэффициенты умножены на то эти условия не изменятся. Это означает, что не влияет на условия центра.

Вообще, если центра в точке (0, 0) для системы (1.1) нет, то в ряде Ляпунова (1.6) появится член с постоянной , где — коэффициенты разложений в ряды. Можно доказать, что если система (1.1) имеет вид

то т. е. если при то и при .

Таким образом, вообще для системы (2.3) условия центра не зависят от значения Но рассмотрим систему

При условие 1 центра: очевидно, выполнено, так как поэтому при точка (0, 0) для уравнений - центр. Будет ли здесь (0,0) центром при ? Легко видеть, что если , то условие 1 центра не выполнено. Рассмотрим условия 3:

При этих двух соотношениях между коэффициентами уравнений (2.4) и найденном значении точка (0, 0) будет центром. Условие 2 определяет одно соотношение между коэффициентами уравнений (2.4) и одно значение при котором (0, 0) будет центром.

Таким образом, при некоторых значениях коэффициентов уравнений (2.4) существует только одно значение (кроме при котором точка (0, 0) будет центром. Вообще если имеем систему вектор, и система имеет периодическое решение то исходная система при может иметь периодическое решение при всяком или лишь при некотором или совсем не иметь. А может случиться, что исходная система имеет периодическое

решение, а предельная не имеет его. Зависит ли и как граница области центра от параметра Как уже было отмечено, граница этой области состоит из интегральных кривых — одной или нескольких и, в частности, конечно, в границу этой области входит ближайшая достижимая точка покоя. Достижимой точкой покоя мы назовем такую, которую можно соединить непрерывной кривой, проходящей в области центра с точкой (0, 0), или эта точка покоя будет предельной для множества точек области центра. Может, конечно, случиться, что ближайшая к (0, 0) точка покоя отделена от области центра интегральной кривой, которая входит в границу области центра. Но и в этом случае эта точка покоя будет определять границу области центра. Может быть и такой случай, когда, кроме (0, 0), нет других точек покоя ни при каких А если есть, то как они себя ведут при

Рассмотрим точки покоя системы

где — малый параметр, — многочлены от степени тк, обращающиеся в нуль при Таким образом, точка (0, 0) — точка покоя при всех значениях е. Пусть — другие точки покоя. Предположим, что ограничено при остаются в области сходимости рядов (2.5). Тогда, очевидно, при имеем Но отсюда следует, что Действительно, имеем при Предположим, что и — конечное. Тогда — , не может быть. Тем более это невозможно, если Невозможен и случай при Отсюда следует

Теорема 2. 1. Если система (2.5) имеет вещественную точку покоя отличную от (0, 0), то при эта точка либо приближается к границе области сходимости рядов (2.5), либо если эти ряды целые (например, полиномы от

Возможен и такой случай, когда система (2.5), кроме (0, 0), не имеет других вещественных точек покоя. Например, система

кроме (0, 0), не имеет вещественных точек покоя. Действительно, если то, умножая эти равенства соответственно на х и у и складывая, получаем Если при то . А тогда Например, это будет при Здесь — интегральная кривая, а соответствующее решение периодическое: — предельный цикл. Если то, как легко видеть, при малых точка (0, 0) будет фокусом. Как видим, здесь периодические решение ограничивает область фокуса и не зависит от

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление